# Tu alegi primul. Eu aleg al doilea.

Trei zaruri. Alegi unul, eu aleg altul. Numărul mai mare câștigă. Pe care îl vrei?

A: 2, 2, 4, 4, 9, 9
B: 1, 1, 6, 6, 8, 8
C: 3, 3, 5, 5, 7, 7

## Cel mai bun zar depinde de adversar.

A îl învinge pe B mai des. B îl învinge pe C mai des. Iar C îl învinge pe A mai des. Orice ai alege, rămâne un zar care are avantaj în fața ta.

În fiecare dintre aceste dueluri, zarul avantajat câștigă în 20 dintre cele 36 de perechi de fețe posibile. Șansa este 5/9, adică aproximativ 55,6% la fiecare aruncare. O partidă scurtă poate fi câștigată și de celălalt zar.

Toate trei au media 5. Dar media adună valorile, pe când jocul numără victoriile. Un 9 foarte mare valorează tot un singur punct când învinge un 1.

## Deschide toate cele 36 de posibilități

Fiecare față a primului zar poate întâlni fiecare față a celui de-al doilea. Cele 36 de perechi au șanse egale dacă zarurile sunt echilibrate și aruncările independente. Celulele marcate cu ✓ sunt victoriile zarului de pe rând.

### A / B

| / |1|1|6|6|8|8|
|---|---|---|---|---|---|---|
|2|✓|✓|·|·|·|·|
|2|✓|✓|·|·|·|·|
|4|✓|✓|·|·|·|·|
|4|✓|✓|·|·|·|·|
|9|✓|✓|✓|✓|✓|✓|
|9|✓|✓|✓|✓|✓|✓|

### B / C

| / |3|3|5|5|7|7|
|---|---|---|---|---|---|---|
|1|·|·|·|·|·|·|
|1|·|·|·|·|·|·|
|6|✓|✓|✓|✓|·|·|
|6|✓|✓|✓|✓|·|·|
|8|✓|✓|✓|✓|✓|✓|
|8|✓|✓|✓|✓|✓|✓|

### C / A

| / |2|2|4|4|9|9|
|---|---|---|---|---|---|---|
|3|✓|✓|·|·|·|·|
|3|✓|✓|·|·|·|·|
|5|✓|✓|✓|✓|·|·|
|5|✓|✓|✓|✓|·|·|
|7|✓|✓|✓|✓|·|·|
|7|✓|✓|✓|✓|·|·|

## Încearcă și la masă

Lipește numerele pe trei zaruri obișnuite, păstrând câte două fețe pentru fiecare valoare. Lasă un prieten să aleagă primul. După câteva runde, schimbați ordinea alegerii și explicați-vă strategia. Avantajul vine din alegerea adversarului, nu dintr-o aruncare trucată.

## Cum funcționează

Model matematic pentru zaruri ideale. Fiecare față are probabilitatea 1/6. Calculatorul alege zarul cu avantaj înainte de aruncare; nu schimbă rezultatele după ce le vede. Simularea folosește un generator pseudoaleator și poate fi refăcută din aceeași adresă. Scorul observat nu este probabilitatea exactă.

NRICH, Universitatea din Cambridge, Non-Transitive Dice. Am numit zarurile A, B și C și am calculat probabilitățile prin enumerarea tuturor perechilor de fețe. Conceptul se numește netranzitivitate.

Pagina NRICH include și încercări de rezolvare ale elevilor. Calculul de aici se bazează pe fețele zarurilor și pe enumerarea completă.

[NRICH](https://nrich.maths.org/problems/non-transitive-dice)