# Târgu Mureș: unghiurile unui triunghi dau întotdeauna 180 de grade?

În orașul lui Bolyai, triunghiul dus de la Târgu Mureș la Polul Nord și la Quito adună 226,385 grade — socotit din coordonate reale, prin trei metode de calcul. Alege-ți orașul și mărește triunghiul: suma urcă sub ochii tăi.

[https://mariuscomper.uk/bolyai-triunghi/](https://mariuscomper.uk/bolyai-triunghi/)

![Sala mare a bibliotecii, cu galeria, busturile și rafturile cu cărți vechi](https://mariuscomper.uk/bolyai-triunghi/assets/img/fig-sala-ba22aa07.webp)

*Sala mare a Bibliotecii Teleki–Bolyai din Târgu Mureș. Foto: Elekes Andor, 5 septembrie 2019. (Foto: Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0)*

## Scara

Cinci trepte, un singur glob. Primele patru iau orașul ales drept prim vârf și arată suma socotită din coordonate reale, prin trei metode de calcul; a cincea arată un triunghi la care surplusul se vede limpede. Prima treaptă citește 180 de grade; ultima trece de 267. Fiecare sumă e socotită prin trei metode deosebite, iar cea mai mare nepotrivire dintre ele e de 1,27 milionimi de secundă de arc.

### Triunghiul de lângă casă dă 180 de grade

Târgu Mureș, Reghin, Sighișoara: laturi de 28,2, 62,6 și 40,2 km pe 424 de km². Suma dă 180,000599° — surplusul e de 2,16″, circa 1.700 de ori mai mic decât un grad: pe glob, un asemenea triunghi nu se deosebește de un punct.

### Triunghiul de țară trece în minute

Târgu Mureș, București și Iași: laturi de 263,4, 324,1 și 239,8 km. Suma urcă la 180,043930°, cu un surplus de 2,636′ — de ordinul minutelor de arc, tot invizibil cu ochiul liber.

### Triunghiul de continent trece de 181 de grade

Târgu Mureș, Londra și Cairo: laturi de 1.872,5, 3.511,3 și 1.923,2 km pe 1.291.225 de km². Suma ajunge la 181,822676°: surplusul de 1,823° apare deja în sumă, chiar dacă pe glob triunghiul tot aproape drept pare.

### Triunghiul cu Polul sare de 225 de grade

Târgu Mureș, Polul Nord și Quito: laturi de 4.832,0, 10.032,0 și 11.020,8 km. Suma sare la 226,384794° — un surplus de 46,385° pe 32.860.049 de km²: aici ruptura se vede cu ochiul liber.

### Trei laturi de câte circa 10.000 km: suma 267,772335 grade

Polul Nord, Quito și Libreville: trei laturi de 10.032,0, 9.780,2 și 9.962,1 km. Suma dă 267,772335°, aproape trei sferturi de cerc, cu un surplus de 87,772°. Acesta e un triunghi la care surplusul se vede limpede. Iar scara ruperii, calculată numeric din formula sferică exactă: un surplus de un minut de arc cere un triunghi echilateral cu latura de 165,1 km; unul de un grad, latura de 1.275,9 km; unul de un grad și jumătate, 1.560,7 km.

## Omul din spatele întrebării

Bolyai János s-a născut la 15 decembrie 1802, la Cluj, și a crescut la Târgu Mureș, unde tatăl său, Bolyai Farkas, preda matematica la Colegiul Reformat. La Academia de Inginerie Militară din Viena, între 1818 și 1822, a terminat în patru ani un curs de șapte. Tatăl avea să-i publice fiului, un deceniu mai târziu, lucrarea care l-a făcut celebru — ca anexă la propriul tratat.

Biblioteca din strada care îi poartă azi numele s-a deschis ca bibliotecă publică în 1802, din cărțile lui Teleki Sámuel (1739–1822), originar din Gornești, județul Mureș. Strada pe care se află se numește azi Bolyai, iar numărul e 17.

Întrebarea care îl obseda era veche de două mii de ani: postulatul al cincilea al lui Euclid, cel care spune că printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă. Tatăl său încercase să-l demonstreze, fără succes. După istoria MacTutor a geometriei neeuclidiene, Gauss ajunsese încă din 1817 la convingerea că postulatul e independent de celelalte patru, dar n-a publicat nimic.

La 8 noiembrie 1824, Gauss îi scria lui Taurinus — după scrisoarea citată de biografia MacTutor — că ipoteza unei sume sub 180 de grade duce la o geometrie „ciudată“ și „cu totul deosebită de a noastră“, dar „pe deplin consistentă“.

După caiete, așa cum le rezumă biografia MacTutor, încă din 1820 János clădea ideile de bază ale geometriei hiperbolice. La 3 noiembrie 1823, proaspăt ofițer de geniu la Timișoara, îi scria tatălui său celebra frază: „…din nimic am creat o lume nouă“. Ideea era gata; sistemul unitar urma.

După biografia MacTutor, la începutul lui 1831, în drum spre un nou post la Liov, tatăl l-a îndemnat să-și pună lucrarea pe hârtie, ca anexă la Tentamen, tratatul său de matematică. La 20 iunie 1831 tatăl îi trimitea lui Gauss un extras; cartea a apărut în 1832, la Târgu Mureș. În cele câteva pagini ale anexei, Bolyai notează cu Σ geometria în care postulatul al cincilea e adevărat și cu S pe cea în care e negat — iar teoremele valabile în amândouă le numește absolute (anexa, §15, în traducerea Halsted). Din această împărțire s-a născut geometria absolută: teoremele care nu au nevoie de niciun postulat al paralelelor.

Gauss i-a scris unui prieten că îl socotește pe tânărul geometru „un geniu de prim rang“; tatălui i-a răspuns că a-l lăuda ar însemna să se laude pe sine — conținutul aproape întreg al lucrării coincidea cu meditațiile sale de treizeci sau treizeci și cinci de ani, după scrisorile citate de biografia MacTutor.

Între timp, la Kazan, Nikolai Lobacevski publicase în 1829 o geometrie asemănătoare, în rusește, într-o revistă locală a universității. Bolyai a aflat abia în 1848. După enciclopedia SEP, Lobacevski încercase chiar să-și verifice geometria calculând un triunghi — unul format din stele pe cer; socoteala n-a dat un rezultat hotărâtor. După istoricul V. F. Kagan, citat de MacTutor, Bolyai i-a studiat lucrarea rând cu rând, ba chiar cuvânt cu cuvânt — și vestea a stârnit „o adevărată furtună“ în sufletul lui.

Deosebirea de care atârnă totul: geometria lui Bolyai nu descrie Pământul. Triunghiurile ei cad sub 180 de grade, iar lipsa — „defectul“ — crește odată cu aria. Triunghiurile scării de mai sus sunt sferice: suma lor trece de 180 de grade fiindcă stau pe o sferă. Descoperirea lui Bolyai poate fi spusă într-o frază: postulatul al cincilea e opțional.

Legendre dovedise că suma nu poate trece de 180 de grade — dar demonstrația lui folosea continuitatea: fără axioma lui Arhimede, arată Hilbert în Fundamentele geometriei, teorema nu se poate dovedi. Sfera nici nu intră în teoremă: cercurile ei mari se închid, iar triunghiurile urcă peste 180 de grade, nu coboară.

Bolyai a ieșit din armată în 1833, a trăit pe moșia familiei de la Domáld, apoi, din 1846 (după biografia MacTutor), din nou la Târgu Mureș. A murit de pneumonie în 1860, la 57 de ani, și a fost înmormântat în Cimitirul reformat; în 1911 a fost exhumat și reașezat lângă tatăl său. În biblioteca din strada care îi poartă azi numele se păstrează 14.000 de file manuscrise ale lui.

## Metoda

Toate numerele scării vin din aceeași socoteală, iar socoteala e trecută de trei ori, prin trei metode. Iat-o pe scurt:

- Târgu Mureș – Reghin – Sighișoara: 180,000599° (2,16″, 424 de km²)
- Târgu Mureș – București – Iași: 180,043930° (2,636′, 31.121 de km²)
- Târgu Mureș – Londra – Cairo: 181,822676° (1,823°, 1.291.225 de km²)
- Târgu Mureș – Polul Nord – Quito: 226,384794° (46,385°, 32.860.049 de km²)
- Polul Nord – Quito – Libreville: 267,772335° (87,772°, 62.179.930 de km²)

## Triunghiul tău

Alege oricare trei vârfuri — 13 orașe verificate plus Polul Nord — iar pagina socotește suma pe loc, prin aceleași trei metode ca scara. Dacă triunghiul ales e una dintre cele cinci trepte de pornire, primește și pagina lui de trimitere; altfel, trimiterea duce la pagina însăși. Dacă alegi același vârf de două ori, pagina te oprește și îți spune.

Târgu Mureș – Londra – Cairo: laturi de 1.872,5, 3.511,3 și 1.923,2 km; suma 181,822676°, surplusul 1,823°, aria 1.291.225 de km².

## Surse și metodă

- Surplusul: Σα − π = F/r² — formula surplusului sferic (α în radiani; F aria, r raza sferei), cu demonstrația prin cele trei cercuri mari (Hopf, cursul „Selected Chapters of Geometry“, ETH Zürich, 1940). Raza e media volumetrică a Pământului, 6.371 de kilometri (fișa NASA); aplatizarea de 0,003353 amintește că Pământul nu e o sferă — numerele de pe pagină sunt ale modelului sferic, nu ale elipsoidului.
- Fiecare sumă e socotită prin trei metode: unghiurile unul câte unul, din legea sferică a cosinusurilor; surplusul direct, din formula lui l'Huilier; și unghiurile din vectori 3D, fără lungimi de laturi. Dezacordul cel mai mare dintre metode e de 1,27 milionimi de secundă de arc — cu mult sub deosebirile dintre modelul sferic și elipsoid.
- Coordonatele celor 13 orașe vin de la Nominatim (© contribuitorii OpenStreetMap, ODbL), culese la 11 octombrie 2026; răspunsurile brute stau în dosarul de cercetare. Polul Nord e un punct definit — 90° latitudine nordică —, nu o căutare.
- Primele patru trepte se re-ancorează pe șapte orașe românești — Târgu Mureș, Reghin, Sighișoara, Cluj-Napoca, Sibiu, București, Iași —, iar treapta întâi ia de fiecare dată cele mai apropiate două orașe verificate de cel ales. Treapta a cincea e fixă: Polul Nord, Quito, Libreville.
- Modelul e o sferă, nu elipsoidul: altitudinile orașelor nu intră în socoteală, iar triunghiurile sunt trasate pe sfera de rază medie. Sumele se tipăresc cu șase zecimale în scară, în tabele și în socotitor; zecimalele arată că cele trei metode se potrivesc, nu că Pământul ar fi o sferă perfectă.
- Filele manuscrise: 14.000 de file, după pagina românească a bibliotecii (cea engleză dă circa 13.000 de pagini); MacTutor vorbește de peste 20.000 de pagini de lucrări matematice. Legătura dintre aceste numere n-a fost stabilită aici; fiecare e arătat cu unitatea sursei lui.
- Ce nu apare pe pagină: numărul de pagini al anexei înseși (nicio sursă primară deschisă în sesiune nu-l dă).

### Oamenii și anexa

- MacTutor, biografia lui János Bolyai (Universitatea St Andrews). [mathshistory.st-andrews.ac.uk](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolyai/)
- MacTutor, biografia lui Farkas Bolyai. [mathshistory.st-andrews.ac.uk](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolyai_Farkas/)
- MacTutor, „Non-Euclidean geometry“. [mathshistory.st-andrews.ac.uk](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry/)
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, „Geometry in the 19th Century“. [plato.stanford.edu](https://plato.stanford.edu/entries/geometry-19th/)
- D. Hilbert, Fundamentele geometriei (trad. Townsend, Gutenberg #17384), discuția de încheiere. [users.fmf.uni-lj.si](https://users.fmf.uni-lj.si/lavric/Hilbert%20-%20The%20Foundations%20of%20Geometry.pdf)
- J. Bolyai, anexa, §15, în traducerea engleză Halsted (Neomon, Austin, 1896). [archive.org](https://archive.org/details/scienceabsolute01bolygoog)
- Biblioteca Teleki–Bolyai, „Biblioteca Teleki-Bolyai“ (istoric) și „János Bolyai“. [telekiteka.ro](http://www.telekiteka.ro/tortenete751)

### Socoteala

- H. Hopf, „Selected Chapters of Geometry“, curs ETH Zürich, 1940 (PDF). [pi.math.cornell.edu](https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/Other/hopf-samelson.pdf)
- E. W. Weisstein, „Spherical Excess“ și „Girard's Spherical Excess Formula“, MathWorld. [mathworld.wolfram.com](https://mathworld.wolfram.com/SphericalExcess.html)
- MacTutor, biografia lui Albert Girard. [mathshistory.st-andrews.ac.uk](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Girard_Albert/)
- NASA, „Earth Fact Sheet“. [nssdc.gsfc.nasa.gov](https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html)

### Date și imagini

- Coordonate: Nominatim (© contribuitorii OpenStreetMap, ODbL), 11 octombrie 2026. Fotografii: Wikimedia Commons — Elekes Andor (CC BY-SA 4.0) și Losy (CC BY-SA 3.0 ro), licențele la fiecare imagine.

## Sâmbătă la 10:00

Biblioteca Teleki–Bolyai e pe Str. Bolyai nr. 17, în Târgu Mureș. Expozițiile se vizitează de marți până vineri între 10:00 și 18:00, sâmbăta între 10:00 și 16:00, cu ultima intrare cu o jumătate de oră înainte de închidere. Întreabă de anexa din 1832 și de camera memorială Bolyai — și ia cu tine întrebarea: cât de mare trebuie să fie triunghiul desenat din orașul tău ca suma să treacă de 226 de grade? Răspunsul e pe scara de mai sus.

*Fațada Bibliotecii Teleki–Bolyai, Str. Bolyai nr. 17. Foto: Losy. (Foto: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0 ro)*