# De câte ori se poate împături o foaie de hârtie?

După formula lui Gallivan, o foaie A4 se împătură de șase ori; recordul, cu mai bine de un kilometru de hârtie, e de 12. După 42, teancul ar trece de Lună, dar într-un singur sens fiecare împăturire cere de aproape patru ori mai multă hârtie decât precedenta: ar trebui o fâșie de **107.052 de ani-lumină**, cam cât lățimea Căii Lactee.

## Câte împăturiri încap într-o foaie A4?

Șase, după formula lui Gallivan, dacă împături mereu în același sens. O foaie A4 obișnuită are 80 g/m² și circa 0,1 mm grosime. După șase împăturiri, pachetul are 64 de straturi, 6,4 mm grosime și cel mult 4,6 mm lungime. A șaptea ar cere o fâșie de cel puțin 87,8 cm, iar foaia ta are 29,7 cm.

Dacă alternezi sensurile, o dată pe lungime și o dată pe lățime, formula lui Gallivan pentru o foaie pătrată cere pentru șapte împăturiri o latură de cel puțin 16,1 cm, iar A4 are 21 cm pe latura scurtă. Formula dă un minim de hârtie, așa că, în practică, foaia poate ceda și mai devreme.

Recordul recunoscut este de 12 împăturiri, obținut cu o rolă de hârtie lungă de 1.219 m.

## Cine a împăturit o foaie de 12 ori?

Britney Gallivan, o liceană din Pomona, California. În clasa a XI-a, la ora de matematică, s-a lansat o provocare: cine împătură ceva în jumătate de 12 ori primește puncte în plus. Se spunea că o foaie nu poate fi împăturită de mai mult de șapte-opt ori.

A început cu o foiță de aur pătrată, de 10 cm și groasă de 0,28 micrometri, pe care a reușit s-o împăturească de 12 ori. Apoi i s-a cerut să reușească și cu hârtie. În decembrie 2001 a dedus formula care spune cât de lungă trebuie să fie fâșia pentru un număr dat de împăturiri.

Pe 27 ianuarie 2002, într-un mall din Pomona, a desfășurat pe podea, împreună cu părinții, o rolă de hârtie igienică lungă de 4.000 de picioare (1.219 m) și a împăturit-o de 12 ori. Gallivan a povestit că a stat opt ore în patru labe pe podea. Guinness World Records o recunoaște drept prima persoană care a împăturit o singură foaie de 9, 10, 11 și 12 ori.

Pentru 12 împăturiri, 1.219 m de hârtie ajung doar dacă hârtia are cel mult 0,139 mm grosime. Gallivan a căutat o hârtie igienică specială, potrivită; grosimea ei nu e publicată.

Alții au încercat să-l depășească. În decembrie 2011, elevii de la St. Mark's School din Massachusetts au anunțat 13 împăturiri, la MIT, cu rulouri de hârtie igienică lipite cap la cap. NPR a numit recordul neoficial, iar Gallivan a obiectat că hârtia lipită nu e o singură foaie. Pagina Guinness World Records arată și acum, ca record, cele 12 împăturiri ale ei.

## De ce hârtia necesară crește aproape de patru ori la fiecare împăturire?

La fiecare împăturire, hârtia se îndoaie în jurul teancului. Fiecare strat de la margine înconjoară toate straturile din interior, ca o buclă, iar cu cât teancul e mai gros, cu atât bucla e mai lungă. Hârtia prinsă în buclă nu mai stă întinsă în teanc.

Gallivan a adunat buclă după buclă. Pentru n împăturiri în același sens, fâșia trebuie să aibă cel puțin L = (π · t / 6) · (2^n + 4) · (2^n − 1), unde t este grosimea hârtiei. Teancul are 2^n straturi, iar în formulă 2^n apare de două ori, așa că hârtia necesară crește ca 4^n: la fiecare pas grosimea se dublează, iar fâșia crește de aproape patru ori. Gallivan spune același lucru în cuvinte: pentru următoarea împăturire îți trebuie o lungime de patru ori mai mare (Guinness World Records, 2025).

Ultimele împăturiri consumă aproape toată hârtia: ultima singură, cam trei sferturi din fâșie.

| Împăturiri | Straturi | Înălțimea teancului | Hârtia necesară |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 straturi | 0,2 mm | 0,31 mm |
| 2 | 4 straturi | 0,4 mm | 1,3 mm |
| 3 | 8 straturi | 0,8 mm | 4,4 mm |
| 4 | 16 straturi | 1,6 mm | 1,57 cm |
| 5 | 32 de straturi | 3,2 mm | 5,84 cm |
| 6 | 64 de straturi | 6,4 mm | 22,4 cm |
| 7 | 128 de straturi | 1,28 cm | 87,8 cm |
| 8 | 256 de straturi | 2,56 cm | 3,47 m |
| 9 | 512 straturi | 5,12 cm | 13,8 m |
| 10 | 1.024 de straturi | 10,2 cm | 55,1 m |
| 11 | 2.048 de straturi | 20,5 cm | 220 m |
| 12 | 4.096 de straturi | 41 cm | 879 m |
| 19 | 524.288 de straturi | 52,4 m | 14.400 km |
| 21 | 2.097.152 de straturi | 210 m | 230.000 km |
| 22 | 4.194.304 straturi | 419 m | 921.000 km |
| 30 | 1.073.741.824 de straturi | 107 km | 60,4 miliarde de km |
| 42 | 4.398.046.511.104 straturi | 440.000 km | 107.000 de ani-lumină |

## Și dacă împături și pe cealaltă direcție?

Se poate, iar așa ies mai multe împăturiri din aceeași hârtie. Alternând sensurile, o dată pe lungime și o dată pe lățime, Gallivan a dedus pentru o foaie pătrată latura minimă W = π · t · 2^(3(n−1)/2), cu exponentul 3(n−1)/2. Latura crește de aproape trei ori la fiecare împăturire, nu de patru ca fâșia, iar teancul tot se dublează.

Pe A4, formula dă șapte împăturiri alternate: a șaptea cere o latură de 16,1 cm, iar latura scurtă are 21 cm; a opta cere 45,5 cm. În același sens sunt doar șase. Apasă „Alternând sensurile” în foaia de sus ca să le faci.

La 12 împăturiri, o foaie pătrată de 29,1 m pe latură ar fi suficientă, după formulă, față de o fâșie de 879 m. O foaie pătrată cu latura cât ocolul Pământului (40.075 km) ajunge pentru 25 de împăturiri, iar una cât drumul până la Lună (384.400 km) pentru 27 de împăturiri, cu un teanc de 13,4 km.

Alternarea nu scutește de hârtie: foaia iese mai scurtă și mai lată. La 12 împăturiri, pătratul de 29,1 m pe latură are 848 m²; o fâșie de 879 m, lată de 10 cm, are 88 m². Lungimea necesară scade, iar aria crește.

Nici așa teancul nu ajunge la Lună cu hârtie pe care o putem face: pentru 42 de împăturiri, foaia pătrată ar avea latura de 0,11 ani-lumină, de circa 6.800 de ori distanța de la Pământ la Soare. Foaia de sus pornește cu un singur sens, fiindcă recordul lui Gallivan din 2002 a fost în același sens, iar fâșia de 107.052 de ani-lumină e valoarea pentru un singur sens.

## Ajunge teancul la Lună? Și hârtia?

Teancul, da. La 42 de împăturiri sunt 2^42 straturi de 0,1 mm, adică 439.805 km, mai mult decât cei 384.400 km dintre Pământ și Lună (distanța medie, după NASA).

Hârtia, nu. Într-un singur sens, formula cere pentru 42 de împăturiri o fâșie de 107.052 de ani-lumină; alternând sensurile, o foaie pătrată de 0,11 ani-lumină pe latură. Discul Căii Lactee are circa 100.000 de ani-lumină în lățime, după ESA și NASA; un studiu din 2018 îl socotește de circa 200.000, dar fâșia rămâne de același ordin de mărime.

Invers: o fâșie cât distanța până la Lună (384.400 km) ajunge pentru 21 de împăturiri și dă un teanc de 210 m, mai scund decât Turnul Eiffel. Una cât ocolul Pământului (40.075 km) ajunge pentru 19 împăturiri și dă 52,4 m.

Rezultatul depinde direct de grosime. La hârtie de 0,05 mm, fâșia pentru 42 de împăturiri ar avea 53.500 de ani-lumină, iar teancul doar 220.000 km, prea puțin pentru Lună. La 0,12 mm, fâșia ar avea 128.000 de ani-lumină.

## Cum se încearcă pe o foaie adevărată?

1. Ia o foaie A4 de imprimantă.
2. Împăturește-o în două, astfel încât latura lungă să se înjumătățească, apoi iar și iar în același sens, apăsând bine cu unghia pe fiecare îndoitură.
3. La sfârșit, numără câte împăturiri ai reușit.

Formula presupune o hârtie ideală, așa că o foaie adevărată poate ceda înainte de limită.

## Surse și limite

Numerele din pagină sunt calculate cu formula lui Gallivan, pentru hârtie de 0,1 mm, cu straturi perfect strânse; sunt pentru un singur sens, în afară de secțiunea despre alte sensuri și de modul „Alternând sensurile”, care folosesc formula ei pentru foaia pătrată. Fișele tehnice a doi producători dau, pentru hârtia de 80 g/m², grosimi de 0,105 și 0,110 mm; am rotunjit la 0,1 mm.

- Formula: [Wolfram MathWorld, Folding](https://mathworld.wolfram.com/Folding.html) și [OEIS A076024](https://oeis.org/A076024).
- Buclele din spatele formulei: Korpal, G., „Folding paper in half”, *At Right Angles* 4(3), noiembrie 2015, în [copia de pe Fermat's Library](https://fermatslibrary.com/s/folding-paper-in-half).
- Recordul: [Guinness World Records, Most times to fold a piece of paper](http://www.guinnessworldrecords.com/world-records/494571-most-times-to-fold-a-piece-of-paper) (și formula pentru sensuri alternate) și [Guinness News, 22 octombrie 2025](https://www.guinnessworldrecords.com/news/2025/10/how-many-times-can-you-actually-fold-a-piece-of-paper-student-busts-myth).
- Foița de aur, rola și mall-ul: [ABC Science, Karl Kruszelnicki, 21 decembrie 2005](https://www.abc.net.au/science/articles/2005/12/21/1523497.htm).
- Credința în limita de șapte-opt împăturiri: Ivars Peterson, [Science News](https://www.sciencenews.org/article/folding-paper-half-twelve-times).
- Cele 13 împăturiri din decembrie 2011 și obiecția lui Gallivan: [MySouthborough, 12 decembrie 2011](https://mysouthborough.com/?p=33874) și [NPR (WWNO), 5 decembrie 2011](https://www.wwno.org/2011-12-05/record-folders-54-000-feet-of-paper-13-folds-one-new-standard).
- Clasa, mall-ul și orele: [Damn Interesting, 2006](https://www.damninteresting.com/retired/never-say-never/).
- Luna: [NASA, Moon Fact Sheet](https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/moonfact.html). Calea Lactee: [ESA, Gaia](https://sci.esa.int/web/gaia/-/58206-anatomy-of-the-milky-way) și [NASA, Imagine the Universe](https://imagine.gsfc.nasa.gov/science/objects/milkyway1.html); estimarea de 200.000: [IAC](https://www.iac.edu.es/en/outreach/news/disc-milky-way-bigger-we-thought).
- Grosimea hârtiei: fișele tehnice [Navigator](https://pim.igepa.nl/Office/Kopieerpapier/Multifunctioneel/Navigator/Navigator%20Universal%20Brand%20Datasheet.pdf) (110 µm) și [HP Office](https://cdn.fusionplus.net/documents/sylvamo/hp_tech_sheet_office_2024_brasil.pdf) (105 µm); grosimea hârtiei lui Gallivan nu e publicată.
- Repere: foaia A4, [ISO 216](https://www.cl.cam.ac.uk/~mgk25/iso-paper.html); autobuzul, [Solaris Urbino 12](https://www.solarisbus.com/public/assets/Biuro_prasowe/2023_05_11_UITP_zapro/Technical_details_Solaris_Urbino_12_electric.pdf); terenul de tenis, [ITF](https://www.itftennis.com/media/7221/2026-rules-of-tennis-english.pdf); terenul de fotbal, [UEFA](https://documents.uefa.com/r/PxVtjcYr9Ntgwd0wYgq2xw/snbCQQ1y5eRWxnjVf4WgnQ); Turnul Eiffel (330 m), [Radio World](https://www.radioworld.com/global/a-dab-boost-adds-6-meters-to-eiffel-tower); Burj Khalifa, [CTBUH](https://www.skyscrapercenter.com/building/burj-khalifa/3); podul Golden Gate, [goldengate.org](https://www.goldengate.org/bridge/history-research/statistics-data/design-construction-stats/); maratonul, [World Athletics](https://worldathletics.org/download/download?filename=0ed43077-8e08-492b-a4b3-267f27c18d0b.pdf&urlslug=C1.1%20%26%20C2.1%20-%20Competition%20Rules%20%26%20Technical%20Rules); Moldoveanu, [Radio România](https://www.romania-actualitati.ro/news-in-english/romania-s-flag-flying-on-the-country-s-highest-peak-id128161.html); Everest, [Al Jazeera](https://www.aljazeera.com/news/2020/12/8/mt-everest-nepal-china-announce-revised-height-at-8848-metres); limita spațiului, [FAI](https://www-2025.fai.org/news/statement-about-karman-line); stația spațială, [NASA](https://www.nasa.gov/reference/international-space-station/); orbita geostaționară, [NASA](https://science.nasa.gov/earth/earth-observatory/catalog-of-earth-satellite-orbits); ocolul Pământului, [Caltech IPAC](https://coolcosmos.ipac.caltech.edu/ask/57-How-large-is-Earth); unitatea astronomică și anul-lumină, [IAU](https://iauarchive.eso.org/static/resolutions/IAU2012_English.pdf).


Pagina interactivă: https://mariuscomper.uk/de-cate-ori-se-poate-impaturi-o-foaie/