Matematică, clasele VI–IX
Funcții, grafice și ecuația de gradul al doilea, explicate cu o minge, o balanță și niște plăci
Fiecare idee o încerci cu mâna ta: arunci o minge, cântărești pe o balanță, tragi un punct pe o hartă. Pe drum afli ce sunt necunoscuta, funcția, dreapta, parabola și ecuația de gradul al doilea. Pașii merg în ordinea din școală; primii șapte au fiecare o predicție, o jucărie și o verificare la final.
Lovește steagul
Viteza se măsoară în metri pe secundă (m/s). Alege viteza de plecare și unghiul, sau trage mânerul galben.
Mingea aruncată desenează o parabolă; distanța la care cade este soluția unei ecuații de gradul al doilea.
Desenul, în cuvinte
Mingea aruncată desenează o parabolă; distanța la care cade este soluția unei ecuații de gradul al doilea.
Aici g = 10 m/s², nu 9,81, ca numerele să rămână simple; forma curbei e aceeași. Aceeași valoare apare în toată pagina.
Încearcă acum: lovește steagul. Mingea zboară pe o curbă numită parabolă, iar distanța la care cade se află rezolvând o ecuație. O vei rezolva la pasul 7.
Planul lecției: șapte pași, în ordine, și o recapitulare
- Pentru cine
- Elevi din clasele VI–IX care vor să ajungă la ecuația de gradul al doilea fără goluri pe drum, și oricine îi ajută.
- Ce trebuie să știi dinainte
- Cele patru operații, cu numere întregi, inclusiv negative.
- La final
- Rezolvi singur o ecuație de gradul al doilea în trei feluri (cu plăci, cu formula, cu suma și produsul) și știi ce înseamnă soluțiile ei pe grafic.
Fiecare pas se sprijină pe cel dinainte:
- Egalitatea și necunoscuta
- Coordonatele
- Funcția
- Dreapta
- Pătrate și rădăcini
- Parabola
- Ecuația de gradul al doilea
Pătratele (pasul 5) pregătesc plăcile cu care se completează pătratul la pasul 7.
- 1Egalitatea și necunoscutaCe număr lipsește? · clasele VI–VII
- 2CoordonateleCum spui exact unde e un punct? · clasa VII
- 3FuncțiaCum scrii o dată un calcul pe care îl faci mereu? · clasa VIII
- 4DreaptaCe desen face o mărime care crește mereu la fel? · clasa VIII
- 5Pătrate și rădăciniDin aria unui pătrat, cât e latura? · clasele VII–VIII
- 6ParabolaCe desen face o mărime care crește tot mai repede? · clasa IX
- 7Ecuația de gradul al doileaCând ajunge mingea la o anumită înălțime? · clasele VIII–IX
- 8Nouă greșeli frecventeCum prinzi o regulă greșită? · toate clasele
Fiecare pas începe cu o întrebare de douăzeci de secunde: dacă o știi, treci mai departe. Se termină cu o verificare; când răspunsul e greșit, pagina spune de ce și la ce pas să te întorci. Ce ai bifat se păstrează doar pe acest dispozitiv.
Drum după clasă: clasa a VI-a: pasul 1; clasa a VII-a: pașii 1, 2 și 5; clasa a VIII-a: 3, 4, 5 și 7; clasa a IX-a: 6 și 7. Pașii 1–5 sunt temelia pentru ultimii doi.
Numerele claselor sunt cele din programa școlară din România (clasa a VI-a are elevi de 12–13 ani, clasa a IX-a de 15–16).
Pasul 1 din 8 · clasele VI–VII
Ce este o necunoscută și cum se rezolvă o ecuație?
Problema
Trei pungi cu mere la fel de grele și încă 2 kg cântăresc împreună 14 kg. Cât cântărește o pungă?
De ce există ideea asta? Ca să afli un număr pe care nu-l vezi, pornind de la ce știi despre el. Ecuația este propoziția care spune ce știi; necunoscuta este numărul căutat.
O necunoscută este un număr pe care încă nu-l știi, închis într-o cutie. O ecuație este o balanță în echilibru: pe un taler stă cutia, cu ce mai e pe lângă ea, pe celălalt stă o greutate. Ca să afli ce-i în cutie, faci aceeași mișcare pe ambele talere, până rămâne cutia singură.
Prezice întâi
Pe talerul stâng stau trei cutii la fel și o greutate de 2 kg, pe cel drept 14 kg; balanța e dreaptă. Scoți greutatea de 2 kg doar de pe talerul stâng. Ce face balanța?
De ce? Ca balanța să rămână dreaptă, scoți 2 kg și din dreapta: trei cutii cântăresc 12 kg, deci o cutie are 4 kg. De aici vine regula oricărei ecuații: ce faci într-o parte faci și în cealaltă. În balanța de mai jos, alege «doar talerul stâng» și vezi ce se întâmplă.
Ce faci pe un taler, faci și pe celălalt.
Balanța
Scoate greutatea, apoi împarte. Încearcă și mișcarea greșită, doar pe un taler, ca să vezi ce se întâmplă.
O balanță cu cutii cu număr ascuns pe un taler și o greutate pe celălalt, la care scoți aceeași greutate de pe ambele talere.
Desenul, în cuvinte
O balanță cu cutii cu număr ascuns pe un taler și o greutate pe celălalt, la care scoți aceeași greutate de pe ambele talere.
Semnul egal înseamnă «cântăresc la fel», nu «urmează rezultatul», ca pe tasta unui calculator. Aceeași balanță va rezolva, la pasul 7, și ecuații cu x².
Ai înțeles? Verifică
Ce faci întâi ca să rezolvi 5x + 3 = 18?
De ce? 5x + 3 = 18, deci 5x = 15, deci x = 3. Verificare: 5 · 3 + 3 = 18.
Pasul 2 din 8 · clasa VII (grafice: VII–VIII)
Cum se citește un punct pe planul cartezian?
Problema
Cum îi spui cuiva, la telefon, exact unde ai pus un punct pe o foaie cu pătrățele?
De ce există ideea asta? Două numere fixează orice loc de pe foaie. Cu ele, un calcul se poate desena, iar un desen se poate calcula; toți pașii următori se sprijină pe asta.
Planul cartezian este o hartă cu două străzi: una orizontală, axa Ox, și una verticală, axa Oy. Se întâlnesc în punctul (0, 0), numit originea. Orice punct are o adresă din două numere: (3, 2) înseamnă «mergi trei pătrățele pe stradă, apoi urcă două».
Prezice întâi
Punctele (2, 5) și (5, 2) sunt același punct?
De ce? (2, 5) înseamnă 2 pe stradă și 5 în sus; (5, 2) înseamnă 5 pe stradă și 2 în sus. Inversarea lor e greșeala pe care o prinde jocul cu barca de mai jos.
Întâi x, apoi y: întâi pe stradă, apoi pe scări. Minus înseamnă spre stânga sau în jos.
Scufundă corabia
Corabia stă pe o intersecție ascunsă. Spune-i adresa.
Un plan cartezian cu o corabie ascunsă pe o intersecție; spui x și y.
Desenul, în cuvinte
Un plan cartezian cu o corabie ascunsă pe o intersecție; spui x și y.
Desenează barca
Pune punctele în ordinea cerută; liniile apar singure.
Un plan cartezian pe care desenezi o barcă punct cu punct, după coordonatele cerute.
Desenul, în cuvinte
Un plan cartezian pe care desenezi o barcă punct cu punct, după coordonatele cerute.
Un grafic nu este desenul unui drum. Este harta unei relații între două mărimi, aici timpul și distanța. A citi un grafic înseamnă să ne uităm unde urcă, unde stă pe loc și unde coboară.
Plimbarea Anei
Trage bara timpului și vezi unde e Ana pe stradă. Apoi răspunde la întrebări.
Graficul distanței față de casă în timp pentru o plimbare spre școală, cu o oprire și o întoarcere.
Desenul, în cuvinte
Graficul distanței față de casă în timp pentru o plimbare spre școală, cu o oprire și o întoarcere.
Linia orizontală înseamnă că distanța nu se schimbă. Cu cât linia urcă mai abrupt, cu atât Ana merge mai repede. Graficul nu spune pe ce străzi a mers Ana, doar cât de departe de casă era în fiecare minut.
Ai înțeles? Verifică
Un punct stă pe axa verticală, Oy. Ce știi sigur despre el?
De ce? Orice punct de pe Oy are adresa (0, ceva): (0, 3), (0, −2). La pasul 4, dreapta f(x) = ax + b va tăia Oy în punctul (0, b).
Pasul 3 din 8 · clasa VIII
Ce este o funcție?
Problema
La un centru de copiere, o pagină costă 2 lei și plicul 1 leu. Cât plătești pentru 4 pagini? Dar pentru 10? Dar pentru 37?
De ce există ideea asta? Când faci același calcul cu alt număr de fiecare dată, scrii calculul o singură dată, ca regulă: 2 · x + 1. Regula aceasta se numește funcție.
O funcție este o mașină cu o regulă. Bagi un număr, iese un număr, și pentru același număr intrat iese mereu același. Regula se poate spune în trei feluri: cu o formulă, f(x) = 2x + 1, cu un tabel de valori sau cu un desen, graficul. Sunt trei limbi pentru același lucru. Scrierea f(x) se citește «f de x» și înseamnă numărul care iese când intră x; pe grafic este înălțimea y.
Prezice întâi
Mașina f(x) = x² primește întâi 3, apoi −3. Ce iese?
De ce? Două intrări diferite pot da aceeași ieșire; o mașină nu are voie să dea două ieșiri pentru aceeași intrare. Desenul «Este curba o mașină?» de mai jos arată diferența.
Ghicește regula mașinii
Bagă numere, uită-te la tabel și la puncte, apoi alege regula.
O mașină cu o regulă ascunsă: bagi numere, iese un tabel de perechi, iar tu ghicești regula.
Desenul, în cuvinte
O mașină cu o regulă ascunsă: bagi numere, iese un tabel de perechi, iar tu ghicești regula.
Un singur număr nu ajunge: mai multe reguli pot da același rezultat pentru el. De aceea contează să încerci și numere mai ciudate, cum ar fi 0 sau un număr negativ.
Este curba o mașină?
Mută dreapta verticală și numără în câte puncte taie curba.
Patru curbe și o dreaptă verticală care arată câte valori y corespund fiecărui x.
Desenul, în cuvinte
Patru curbe și o dreaptă verticală care arată câte valori y corespund fiecărui x.
O mașină nu are voie să dea două ieșiri pentru aceeași intrare. Pe desen, asta înseamnă că nicio dreaptă verticală nu intersectează curba în mai mult de un punct.
Din tabel în desen
Calculează f(x) pentru fiecare x. Apoi hotărăște câte puncte unești.
Un tabel cu x de la −3 la 3 pe care îl completezi; fiecare rând pune un punct pe plan.
Desenul, în cuvinte
Un tabel cu x de la −3 la 3 pe care îl completezi; fiecare rând pune un punct pe plan.
Câte puncte trebuie să pui ca să ai graficul? Cu șapte puncte ai o linie frântă, cu multe puncte o curbă netedă. Graficul adevărat conține toate punctele, nu doar pe cele din tabel.
Ai înțeles? Verifică
Graficul unei mașini este o dreaptă și trece prin punctele date de 1 → 5, 2 → 7, 3 → 9. Ce iese pentru 10?
De ce? Regula este f(x) = 2x + 3, deci f(10) = 2 · 10 + 3 = 23. Același număr iese pas cu pas: 9 + 7 · 2 = 23. La centrul de copiere de la începutul pasului, regula 2x + 1 dă 9 lei pentru 4 pagini, 21 de lei pentru 10 și 75 de lei pentru 37.
Pasul 4 din 8 · clasa VIII
Ce arată funcția liniară f(x) = ax + b?
Problema
Două taxiuri au prețuri diferite: unul cere mai mult la pornire, celălalt mai mult pe kilometru. Care e mai ieftin pentru cursa ta?
De ce există ideea asta? Multe mărimi cresc cu aceeași cantitate la fiecare pas: costul cursei crește cu aceeași sumă la fiecare kilometru, apa dintr-o cadă crește cu aceeași cantitate în fiecare secundă cât timp robinetul curge la fel. Graficul lor este o dreaptă, iar două drepte arată dintr-o privire unde se egalează.
Un taxi cere o taxă de pornire, b, și un preț pentru fiecare kilometru, a. Prețul pentru x kilometri este f(x) = a·x + b. Graficul este o dreaptă: pornește de la înălțimea b și urcă cu a lei la fiecare kilometru. Numărul a se numește panta.
Prezice întâi
Taxiul A: 10 lei la pornire și 2 lei pe km. Taxiul B: 4 lei la pornire și 3 lei pe km. Care e mai ieftin pentru 8 km?
De ce? A: 10 + 2 · 8 = 26 de lei. B: 4 + 3 · 8 = 28 de lei. Dreptele lor se întâlnesc la 6 km; până acolo e mai ieftin B, după aceea A. Pe drum lung contează panta, nu pornirea.
Taxiul
Schimbă pornirea și prețul pe kilometru. Scările albastre și roșii arată panta.
Graficul prețului unei curse de taxi: o dreaptă care pornește de la taxa de pornire și urcă cu prețul pe kilometru. Preț în lei, moneda României.
Desenul, în cuvinte
Graficul prețului unei curse de taxi: o dreaptă care pornește de la taxa de pornire și urcă cu prețul pe kilometru. Preț în lei, moneda României.
Dreapta prin două puncte
Trage punctele A și B. Pagina calculează panta și ecuația.
O dreaptă care trece prin două puncte mobile, cu panta, ecuația și punctul în care taie axa orizontală.
Desenul, în cuvinte
O dreaptă care trece prin două puncte mobile, cu panta, ecuația și punctul în care taie axa orizontală.
Zeroul funcției. Zeroul unei funcții este valoarea lui x pentru care f(x) = 0; pe grafic, îi corespunde punctul în care curba intersectează axa Ox. Pentru f(x) = ax + b, cu a diferit de 0, zeroul este x = −b/a. Este exact soluția ecuației ax + b = 0 de la pasul 1, văzută pe hartă: a rezolva o ecuație înseamnă a căuta unde atinge graficul axa.
Ai înțeles? Verifică
Dreapta f(x) = 3x − 6 taie axa Ox în punctul cu x egal cu:
De ce? 3x − 6 = 0, deci 3x = 6, deci x = 2. Punctul este (2, 0). A căuta unde atinge graficul axa Ox înseamnă a rezolva o ecuație.
Pasul 5 din 8 · clasele VII–VIII
Ce este rădăcina pătrată și ce înseamnă (a + b)²?
Problema
Ai 36 de plăci pătrate și vrei să faci din ele un pătrat. Câte plăci pui pe o latură?
De ce există ideea asta? Ridicarea la pătrat transformă latura în arie; rădăcina pătrată face drumul invers. Fără ea nu poți scoate x din x² = 25, iar ecuația de la pasul 7 are x².
Un pătrat cu latura 5 are aria 25. Rădăcina pătrată face drumul invers: din arie află latura, √25 = 5. O ecuație cu x² are însă, de obicei, două soluții, ca în comparația de mai jos.
x + 3 = 7
Un singur număr merge: 4.
x² = 9
Merg două numere: 3 și −3, fiindcă 3 · 3 = 9 și (−3) · (−3) = 9.
Prezice întâi
Pătratul cu latura 3 + 2 = 5 are aria 25. Cât face 3² + 2²?
De ce? Suma 3² + 2² lasă pe dinafară cele două dreptunghiuri de 3 pe 2 din pătratul mare: 13 + 6 + 6 = 25. De aceea (a + b)² = a² + 2ab + b². În desenul «(a + b)², cu plăci» de mai jos, schimbă a și b și urmărește cele două dreptunghiuri.
Plăci, arii și rădăcini
Alege câte plăci ai. Se așază într-un pătrat, dacă se poate.
Plăci așezate într-un pătrat, cu latura egală cu rădăcina pătrată a numărului lor, și cele două soluții ale ecuației x² = n pe axa numerelor.
Desenul, în cuvinte
Plăci așezate într-un pătrat, cu latura egală cu rădăcina pătrată a numărului lor, și cele două soluții ale ecuației x² = n pe axa numerelor.
(a + b)², cu plăci
Schimbă a și b și compară pătratul întreg cu a² + b².
Un pătrat cu latura a + b tăiat în a², b² și două dreptunghiuri ab.
Desenul, în cuvinte
Un pătrat cu latura a + b tăiat în a², b² și două dreptunghiuri ab.
Plăcile arată de ce (a + b)² nu este a² + b²: lipsesc cele două dreptunghiuri ab. Greșeala e frecventă fiindcă seamănă cu regula (a·b)² = a²·b²[5]. Aceleași plăci vor rezolva mai jos ecuația de gradul al doilea.
Ai înțeles? Verifică
Câte soluții are ecuația x² = 16?
De ce? Latura pătratului cu aria 16 este √16 = 4. Ecuația x² = 16 mai are o soluție, −4: (−4) · (−4) dă tot 16, chiar dacă o latură nu poate fi negativă. Cu cele 36 de plăci de la începutul pasului pui 6 pe latură, fiindcă 6 · 6 = 36.
Pasul 6 din 8 · clasa IX
De ce graficul funcției de gradul al doilea este o parabolă?
Problema
Mingea aruncată în sus urcă tot mai încet, se oprește o clipă și cade tot mai repede. Ce desen face înălțimea ei în timp?
De ce există ideea asta? Dreapta descrie mărimi care cresc la fel la fiecare pas. Aria unui pătrat sau înălțimea unei mingi se schimbă cu pași tot mai mari sau tot mai mici. Cea mai simplă curbă pentru ele este parabola.
Graficul oricărei funcții ax² + bx + c, cu a diferit de 0, este o curbă numită parabolă, mai largă sau mai îngustă, mai sus sau mai jos. Cele două tabele de mai jos arată de ce se curbează.
Dreapta: f(x) = 2x
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| pasul | +2 | +2 | +2 | +2 |
Pasul rămâne +2: graficul urcă drept.
Parabola: f(x) = x²
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| x² | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| pasul | +1 | +3 | +5 | +7 |
Pasul crește, +1, +3, +5, +7: graficul se curbează.
Prezice întâi
În f(x) = a · x², a trece de la 1 la −1. Ce face parabola?
De ce? x² nu e niciodată negativ. Înmulțit cu −1, tot ce era deasupra axei trece dedesubt, ca în oglindă. Încearcă cu bara a din «Parabola ta» de mai jos.
Scara numerelor impare
Mărește x și privește stratul nou, în formă de L.
Pătrate de latură 1, 2, 3 puse unul în altul, cu o masă de valori x² și punctele lor pe plan.
Desenul, în cuvinte
Pătrate de latură 1, 2, 3 puse unul în altul, cu o masă de valori x² și punctele lor pe plan.
Parabola ta: a, b și c
Mișcă cele trei bare și vezi desenul și algebra. Apoi lovește steagul.
Trei bare, a, b și c, care schimbă o parabolă pe plan, cu vârful, rădăcinile și intersecția cu axa verticală.
Desenul, în cuvinte
Trei bare, a, b și c, care schimbă o parabolă pe plan, cu vârful, rădăcinile și intersecția cu axa verticală.
Numărul a spune încotro se deschide parabola și cât de îngustă e. Numărul c este înălțimea la care taie axa verticală. Abscisa vârfului este x = −b/(2a); ordonata se află punând această valoare în funcție. Δ = b² − 4ac, citit mai jos, spune dacă parabola ajunge la axa Ox. Parabola e simetrică față de dreapta verticală care trece prin vârf: oglinda.
Mingea aruncată drept în sus
Pornește mingea și privește deodată mingea și graficul ei.
O minge aruncată drept în sus urcă și coboară pe o dreaptă verticală; graficul înălțimii în funcție de timp este o parabolă.
Desenul, în cuvinte
O minge aruncată drept în sus urcă și coboară pe o dreaptă verticală; graficul înălțimii în funcție de timp este o parabolă.
Cu g = 10 m/s², ca în prima jucărie, h(t) = h₀ + v·t − 5·t².
Mingea urcă și coboară pe aceeași dreaptă verticală, dar graficul ei este o curbă, fiindcă pe axa orizontală este timpul. Graficul nu arată forma drumului[8]. Dacă mingea ar fi aruncată orizontal, fără rezistența aerului, drumul ei ar fi o semiparabolă; Galileo a arătat în 1638 că un proiectil cu o asemenea mișcare descrie o semiparabolă[11].
Bonus: antena parabolică
Schimbă adâncimea antenei și numărul razelor.
O parabolă care strânge razele paralele într-un singur punct, focarul.
Desenul, în cuvinte
O parabolă care strânge razele paralele într-un singur punct, focarul.
Toate razele care vin paralele cu axa se reflectă în același punct. De aceea multe antene de satelit și farurile mai vechi ale mașinilor au secțiune parabolică.
Ai înțeles? Verifică
O parabolă taie axa Ox în x = 1 și în x = 5. Unde este axa ei de simetrie (oglinda), dreapta verticală prin vârf?
De ce? Cele două puncte au aceeași înălțime, 0, deci sunt oglindite unul în celălalt: (1 + 5) : 2 = 3. Aceeași valoare dă formula vârfului pentru y = x² − 6x + 5: −b/(2a) = 6/2 = 3. Înălțimea mingii aruncate în sus, de la începutul pasului, face tot o parabolă, cu gura în jos și vârful în punctul cel mai înalt.
Pasul 7 din 8 · clasele VIII–IX
Cum se rezolvă ecuația de gradul al doilea?
Problema
Mingea pleacă de la sol în sus cu 20 m/s. După câte secunde ajunge la 15 m?
De ce există ideea asta? Ghicitul merge doar la numere frumoase. Pentru ecuația de gradul al doilea există o metodă care merge de fiecare dată, completarea pătratului, iar formula este aceeași metodă scrisă o dată pentru totdeauna.
Ecuația de gradul al doilea are forma ax² + bx + c = 0, cu a diferit de 0, și întreabă: pentru ce x este 0 funcția ax² + bx + c? Pe grafic cauți punctele în care parabola atinge axa orizontală. Valorile lui x din aceste puncte se numesc soluțiile ecuației, sau rădăcinile ei, sau zerourile funcției: trei nume pentru aceleași numere. Soluțiile reale sunt cele care se găsesc pe axa numerelor.
Prezice întâi
Înălțimea mingii este h = 20t − 5t². De câte ori trece mingea prin dreptul unei ferestre aflate la 15 m?
De ce? 20t − 5t² = 15 are două soluții, t = 1 s și t = 3 s. La 20 m, cel mai sus, ar fi o singură soluție, t = 2 s; la 25 m, niciuna. O ecuație de gradul al doilea poate avea două soluții, una sau niciuna, după cum taie linia parabola. Mută fereastra în «Mingea și fereastra» de mai jos.
Când ajunge mingea la sol, sau la fereastră?
Aruncă mingea drept în sus și întreabă când ajunge la o anumită înălțime: ecuația este de gradul al doilea în timp. Mută fereastra și vezi că ecuația poate avea două soluții, una singură sau niciuna. Lasă mingea să plece de pe un balcon, cu fereastra sub punctul de plecare, și apare o soluție negativă: un moment dinainte de aruncare.
Mingea și fereastra
Alege de unde pleacă mingea, viteza și înălțimea ferestrei.
Graficul înălțimii mingii în timp și o fereastră la o înălțime aleasă; soluțiile ecuației sunt punctele în care linia ferestrei taie parabola.
Desenul, în cuvinte
Graficul înălțimii mingii în timp și o fereastră la o înălțime aleasă; soluțiile ecuației sunt punctele în care linia ferestrei taie parabola.
Δ: ajunge sau nu ajunge?
Numărul de sub radical din formulă, Δ = b² − 4ac, se numește discriminant și spune dacă parabola ajunge la axă. Δ pozitiv: parabola taie axa în două puncte. Δ egal cu 0: o atinge într-un singur punct. Δ negativ: nu ajunge la ea, deci ecuația nu are soluții reale.
Trei parabole, trei valori ale lui Δ
Trei parabole: y = x² − 4, y = x² și y = x² + 4, cu Δ = 16, Δ = 0 și Δ = −16.
Desenul, în cuvinte
Trei parabole: y = x² − 4, y = x² și y = x² + 4, cu Δ = 16, Δ = 0 și Δ = −16.
Completarea pătratului, cu plăci
Pe tăblițe de lut din Mesopotamia, vechi de aproximativ 3.800 de ani (în jur de 1800 î.Hr.), sunt probleme ale căror pași se potrivesc cu acest procedeu. Mai târziu, la Bagdad, pe vremea califului al-Ma'mun (813–833), al-Khwarizmi a explicat ecuații de felul acesta cu figuri geometrice[9][10]. Ideea: x² + bx este aproape un pătrat; îi lipsește un colț.
Plăcile care completează pătratul
Alege b și c, apoi apasă «Pasul următor».
Un pătrat x pe x, două benzi de lățime b/2 și un colț de (b/2)², care împreună fac un pătrat mare; din el rezultă soluțiile lui x² + bx = c.
Desenul, în cuvinte
Un pătrat x pe x, două benzi de lățime b/2 și un colț de (b/2)², care împreună fac un pătrat mare; din el rezultă soluțiile lui x² + bx = c.
Formula, de unde vine
Formula nu e o vrajă. Aceiași pași ca la plăci, scriși cu litere în loc de numere, dau formula soluțiilor. După pașii de mai jos poți încerca formula pe orice ecuație.
Formula, pas cu pas
Apasă «Următorul pas» și citește ce s-a făcut.
Șase rânduri de algebră, de la ax² + bx + c = 0 la x = (−b ± √Δ)/2a, fiecare cu o explicație.
Desenul, în cuvinte
Șase rânduri de algebră, de la ax² + bx + c = 0 la x = (−b ± √Δ)/2a, fiecare cu o explicație.
Relațiile lui Viète: suma și produsul
Împărțind ecuația ax² + bx + c = 0 la a, obținem x² + (b/a)x + c/a = 0. Dacă soluțiile sunt x₁ și x₂, aceeași ecuație este (x − x₁)(x − x₂) = 0, adică x² − (x₁ + x₂)x + x₁·x₂ = 0. Comparând coeficienții, suma soluțiilor este −b/a și produsul lor este c/a. Poți rezolva și fără formulă: cauți două numere cu suma și produsul potrivite.
Suma și produsul
Mișcă soluțiile și vezi ecuația. Apoi rezolvă ghicitoarea.
O parabolă care trece prin două soluții alese de tine, cu suma, produsul și ecuația ei; și o ghicitoare cu suma și produsul date.
Desenul, în cuvinte
O parabolă care trece prin două soluții alese de tine, cu suma, produsul și ecuația ei; și o ghicitoare cu suma și produsul date.
Exersează: întâi un exemplu rezolvat, apoi tu
Dacă nu știi cum să începi, apasă «Arată rezolvarea» înainte să încerci. Să te uiți la un exemplu rezolvat nu este trișat. Ecuațiile sunt făcute pornind de la soluții, așa că răspunsurile ies curate.
Rezolvă ecuații
Alege nivelul și rezolvă. Poți cere un indiciu sau rezolvarea.
Ecuații de gradul al doilea generate la nevoie, cu verificare, indiciu și rezolvare pas cu pas.
Desenul, în cuvinte
Ecuații de gradul al doilea generate la nevoie, cu verificare, indiciu și rezolvare pas cu pas.
Ai înțeles? Verifică
Pentru x² + 2x + 5 = 0, Δ = 2² − 4 · 1 · 5 = −16. Ce înseamnă asta?
De ce? x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4. Cel mai jos punct al parabolei este la înălțimea 4, deasupra axei, deci nicio valoare a lui x nu dă 0.
Pasul 8 din 8 · toate clasele
Nouă greșeli frecvente la funcții și ecuații, și cum le prinzi
O greșeală se prinde mai ușor cu un exemplu decât cu o regulă. Fiecare card are o afirmație care pare rezonabilă. Pune numere și vezi unde se strică, sau apasă «Găsește un exemplu care o strică».
Nouă afirmații greșite, fiecare cu un exemplu care o strică: (a + b)² = a² + b², √(x²) = x, punctele (a, b) și (b, a), împărțirea la x, −x² și (−x)², câte soluții are o ecuație de gradul al doilea, graficul ca desen al drumului, semnul egal și panta.
Pentru profesori și părinți: ce face pagina și de ce
Pagina e o lecție pentru elevii din clasele VI–IX, în ordinea programei: egalitatea și necunoscuta, coordonatele, funcția, dreapta, pătratele, parabola, ecuația de gradul al doilea. Fiecare pas urmează aceeași ordine: pașii de care depinde, o problemă cunoscută, o predicție cu explicația ei, o scenă concretă (o minge, o balanță, plăci), desenul ei pe plan, simbolurile și o verificare care, la un răspuns greșit, numește greșeala și trimite la pasul care lipsește. Alegerile de mai jos se sprijină pe studii despre cum învață elevii; pagina în sine nu a fost testată cu elevi.
- O sinteză a cercetărilor propune ca trecerea treptată de la scena concretă, prin desen, la simboluri să ajute mai mult decât simbolurile singure sau scena singură; de aceea fiecare pas merge de la scenă, prin desen, la formule[3].
- Într-un studiu pe 76 de elevi de liceu, rezultatele au fost cu aproape 20% mai slabe la ecuațiile scrise cu simboluri decât la problemele echivalente formulate în cuvinte, iar profesorii și cercetătorii au prezis invers[2]; de aceea povestea vine înaintea ecuației.
- Semnul egal ca balanță, nu ca buton «calculează». Într-un studiu pe 177 de elevi americani de 11–14 ani, cei care înțelegeau semnul ca echilibru au rezolvat mai bine ecuațiile, chiar și când s-a ținut cont de rezultatele la matematică (într-un grup de 65 de elevi)[1].
- Graficul ca hartă a unei relații, nu ca desen al drumului: studenți la fizică au avut dificultăți să deosebească forma graficului de drumul mișcării, iar elevi mai mici iau adesea punctul cel mai înalt drept cel mai abrupt[8]; de aceea plimbarea Anei și mingea aruncată drept în sus arată drumul și graficul unul lângă altul.
- (a + b)² cu plăci: elevii extind regula vizibilă (xy)² = x²y² la sume[5].
- Literele nu sunt obiecte: în testul Chelsea al lui Küchemann (circa 3.000 de elevi, 1976), 52% dintre elevii din anul trei (vârsta medie 14,3 ani) au citit «8c + 6t» ca opt varze și șase napi[6]; barele mobile arată litera ca un număr care se mișcă.
- Pot fi confundate cele două intersecții cu axele: într-un studiu pe 18 elevi de clasa a IX-a, câțiva au luat inițial intersecția cu axa x drept «b»[7]; ambele sunt marcate pe desen.
- «Încearcă întâi» ajută în medie (o sinteză a 53 de studii), dar elevii mici (clasele 2–5 din studiile respective, adică 7–11 ani) au învățat mai bine când li s-a explicat întâi[4]; de aceea încercările de aici sunt scurte și le poți sări.
- Pentru cele mai multe greșeli din galerie, pagina nu citează un studiu; au sursă doar patru: (a + b)², graficul luat drept drum, semnul egal și confuzia dintre cele două intersecții cu axele. Restul sunt greșeli descrise în materiale pentru profesori, nu rezultate de cercetare.
Unde se află fiecare pas în programa școlară
Tabelul rezumă ce enumeră programele oficiale. O programă nouă pentru clasele a IX-a și a X-a (trunchi comun: profilurile umanist, tehnologic și vocațional) a fost publicată în Monitorul Oficial la 8 ianuarie 2026 și se aplică progresiv din anul școlar 2026–2027; programa pentru profilurile cu matematică intensivă nu este rezumată aici. În textul trunchiului comun, funcția de gradul al doilea se studiază prin grafic, cu accent pe vârf și simetrie.
| Pasul | Clasa | Ce enumeră programa | Sursa |
|---|---|---|---|
| 1. Cutia și balanța | VI–VII | Ecuații de tipul x + a = b, ax + b = c (clasa VI); ax + b = 0, necunoscută, coeficienți, termen liber (clasa VII) | [13] |
| 2. Harta | VII | Sistem de axe ortogonale, reprezentarea punctelor, citirea dependențelor din grafice | [13] |
| 3. Mașina | VIII | Funcții definite prin diagrame, tabele, formule; graficul unei funcții | [13] |
| 4. Dreapta | VIII | Funcții f(x) = ax + b, interpretare geometrică, intersecția cu axele | [13] |
| 5. Pătrate și rădăcini | VII–VIII | Rădăcina pătrată, x² = a (clasa VII); formula (a ± b)² (clasa VIII) | [13] |
| 6. Parabola | IX | Funcția de gradul al doilea, reprezentare grafică, vârf, simetrie; în programa nouă, se sugerează legarea de traiectoria unei mingi | [14][15] |
| 7. Ecuația de gradul al doilea | VIII–IX | ax² + bx + c = 0 rezolvată prin formule de calcul prescurtat (clasa VIII); relațiile lui Viète, vârful parabolei (clasa IX) | [13][14] |
Programa de clasa a VIII-a rezolvă ecuația de gradul al doilea prin descompunere în factori și formule de calcul prescurtat; programa din 2009 pentru clasa a IX-a (varianta cu patru ore) enumeră relațiile lui Viète și vârful parabolei. Textul nou pentru trunchiul comun numește vârful și simetria, dar nu relațiile lui Viète. Discriminantul este o unealtă care merge la orice ecuație de gradul al doilea; nu apare sub acest nume în textele programelor citate aici.[13][14]
Câți elevi rămân în urmă?
În PISA 2025, 48% dintre elevii de 15 ani din România au atins cel puțin nivelul 2 la matematică, pragul de bază al testului, față de media OECD de 65%[12]. În PISA 2022 procentul era 51%, față de 69%; OECD descrie scorul mediu la matematică din 2025 ca aproximativ la fel cu cel din 2022. PISA măsoară elevii, nu manualele: arată câți sunt sub pragul de bază, nu de ce.
Limitele paginii
Pagina folosește g = 10 m/s², nu 9,81, ca să rămână numere întregi. Plăcile pentru completarea pătratului merg doar pentru b pozitiv; la b negativ rămâne algebra. Pagina nu înlocuiește manualul și nu cere cont; ce bifezi se păstrează doar pe acest dispozitiv.
Surse
- Knuth, Stephens, McNeil & Alibali (2006), Does understanding the equal sign matter? Evidence from solving equations, Journal for Research in Mathematics Education 37(4), 297–312. deschide
- Nathan & Koedinger (2000), Teachers' and researchers' beliefs about the development of algebraic reasoning, Journal for Research in Mathematics Education 31(2), 168–190. deschide
- Fyfe, McNeil, Son & Goldstone (2014), Concreteness fading in mathematics and science instruction: a systematic review, Educational Psychology Review 26, 9–25. deschide
- Sinha & Kapur (2021), When problem solving followed by instruction works: evidence for productive failure, Review of Educational Research 91(5), 761–798. deschide
- Kirshner & Awtry (2004), Visual salience of algebraic transformations, Journal for Research in Mathematics Education 35(4), 224–257. deschide
- Küchemann (1978), Children's understanding of numerical variables, Mathematics in School 7(4), 23–26. deschide
- Moschkovich (1998), Resources for refining mathematical conceptions: case studies in learning about linear functions, Journal of the Learning Sciences 7(2), 209–237. deschide
- Graph interpretation in school mathematics and physics, a review at the Illinois Mathematics and Science Teaching site, citing Clement, Mokros & Schultz (1985) and McDermott, Rosenquist & van Zee (1987). deschide
- Toomer, al-Khwarizmi, Dictionary of Scientific Biography (the Algebra, written under al-Ma'mun, uses geometric figures); MacTutor biography of al-Khwarizmi. deschide
- MacTutor, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonian problems, about 1800 BC). deschide
- Galileo, Two New Sciences (1638), Fourth Day, Theorem I, Proposition I: the path of a projectile is a semi-parabola. deschide
- OECD, PISA 2025 Results (Volume I), Country Notes: Romania (2026); and PISA 2022 Results, Country Notes: Romania (2023). deschide
- Programa școlară de matematică, clasele V–VIII, anexa 2 la OMEN 3393/28.02.2017 (Ministerul Educației). deschide
- Programa școlară de matematică, clasa a IX-a, anexa 2 la OMECI 5099/9.09.2009 (text reprodus). deschide
- Programa școlară de matematică, clasele a IX-a și a X-a, trunchi comun, anexa 3, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 4 bis, 8 ianuarie 2026 (copie). deschide