Achiziții publice · date SEAP 2022–2024 · o lege statistică veche de un secol
Achizițiile directe ale statului român și legea lui Benford: ce vede testul primei cifre și ce nu vede
În trimestrul IV 2023, autoritățile publice au atribuit 594.448 de achiziții directe de bunuri și servicii (date SEAP publicate de Autoritatea pentru Digitalizarea României). 30,4% dintre sumele lor încep cu cifra 1, aproape exact cât prezice legea lui Benford. Plafonul legal, care taie brusc sumele la 135.060 de lei și, din 10 septembrie 2022, la 270.120, se vede limpede în sume. În cifre, între trimestre, diferențele sunt de cel mult jumătate de punct procentual.
Într-un șir de numere care urmează legea lui Benford, cifra 1 deschide 30,1% dintre ele, iar cifra 9 doar 4,6%. Multe seturi care se întind pe mai multe ordine de mărime o urmează. Auditorii o folosesc ca prim filtru; o potrivire bună nu dovedește că sumele sunt corecte. O punem aici pe date publice românești, cu datele, formulele și scripturile la vedere.
Un trimestru de achiziții directe: plafonul se vede în sume, nu în cifre
O achiziție directă este o cumpărare publică fără licitație, permisă când valoarea estimată, fără TVA, e sub un plafon; legea cere totuși publicitate, prin catalogul electronic sau un anunț. Până la 9 septembrie 2022 plafonul era de 135.060 de lei pentru bunuri și servicii; din 10 septembrie 2022 este de 270.120 (Legea nr. 208/2022). Autoritatea pentru Digitalizarea României publică trimestrial, pe data.gov.ro, exporturile din sistemul electronic de achiziții publice.
Mai jos, aceleași achiziții în două feluri. Stânga: câte sunt la fiecare sumă, între 100.000 și 400.000 de lei. Dreapta: cu ce cifră încep sumele lor. Alege un trimestru; plafonul se mută, cifrele rămân.
Sumele, pe intervale
Prima cifră a acelorași sume
- în date
- legea lui Benford
- intervalul de variație la întâmplare (±2σ) pentru un set de această mărime
T4 2023: 594.448 de achiziții directe de bunuri și servicii; prima cifră este 1 la 30,4% dintre ele; MAD 0,0018.
De ce nu se vede plafonul în cifre
Două motive. Întâi, plafonul taie doar capătul de sus al sumelor: în T4 2023, 90% dintre achiziții sunt sub 10.000 de lei. Prima cifră urmează mărimea nevoii: un toner de 150 de lei, lemne de foc de 37.000, un serviciu de 2.500. Un registru e un amestec de nevoi cu scări foarte diferite, iar un astfel de amestec poate ajunge aproape de lege (o explicație plauzibilă, nu o demonstrație pentru acest registru).
Al doilea motiv: o mică ajustare lângă plafon lasă adesea prima cifră neschimbată. 269.999 și 270.000 încep amândouă cu 2, la fel ca 135.000 și 134.999 cu 1. Plafonul își lasă însă urma în sume. În T1 2022, 448 de achiziții au exact 135.000 de lei, iar de la 135.060 la 270.119 lei sunt 211. În T4 2023 sunt 3.625 în acel interval și 165 la exact 270.000 de lei; în T2 2024, 4.755 și 268. Între trimestre, ponderea fiecărei prime cifre diferă cu cel mult 0,5 puncte procentuale. Există și valori peste plafonul general (279 în T1 2022, 149 în T4 2023, 263 în T2 2024); nu am cercetat de ce: explicații posibile sunt o altă regulă pentru unele entități, sume introduse cu TVA sau greșeli de introducere.
În T2 2024, intervalul 132.500–135.000 de lei are 780 de achiziții, față de 293 și 202 în intervalele învecinate; trei valori repetate (134.397, 134.331, 134.375) apar în total la 129 de achiziții. Nu am investigat de unde vin.
Numărătoarea sumelor exact sub prag, în catalogul electronic, e tema paginii Cu un leu sub prag. Aici întrebarea e alta: ce poate spune despre ele prima cifră.
Tabelul cifrelor, T4 2023
| Cifra | Achiziții | Pondere | Legea |
|---|---|---|---|
| 1 | 180.460 | 30,4% | 30,1% |
| 2 | 107.058 | 18,0% | 17,6% |
| 3 | 73.089 | 12,3% | 12,5% |
| 4 | 57.836 | 9,7% | 9,7% |
| 5 | 45.999 | 7,7% | 7,9% |
| 6 | 38.471 | 6,5% | 6,7% |
| 7 | 33.222 | 5,6% | 5,8% |
| 8 | 31.167 | 5,2% | 5,1% |
| 9 | 27.146 | 4,6% | 4,6% |
De ce ar începe sumele cu 1 mai des decât cu 9?
Pentru că pe o riglă logaritmică cifra 1 are cel mai lung segment. De la 1 la 2 sunt 30,1% din lungimea riglei; de la 9 la 10, doar 4,6%. Un număr care crește cu un procent fix petrece la fel de mult timp pe fiecare centimetru de riglă, deci cade cel mai des în segmentul lung. Formula este P(d) = log₁₀(1 + 1/d).
Mecanismul se poate urmări. Numărul de mai jos pornește de la 1 și crește cu 8% la fiecare pas, ca o dobândă compusă; barele numără cifra la care a stat fiecare pas.
calcul, nu date
Simon Newcomb a observat tiparul în 1881, după uzura paginilor unui tabel de logaritmi. Frank Benford l-a verificat în 1938 pe 20.229 de valori din 20 de serii (suprafețe de râuri, populații, costuri). Theodore Hill a arătat în 1995 că amestecurile de distribuții, eșantionate fără să favorizeze o scară anume, tind spre aceeași lege.
Unde pică testul: aceleași formule, alte seturi de numere
Distanța față de lege se măsoară cu abaterea medie absolută (MAD): media diferențelor absolute dintre ponderea observată a fiecărei cifre și ponderea prevăzută de lege. Mark Nigrini, autorul manualului auditorilor, propune pragurile 0,006 (potrivire foarte bună), 0,012 (potrivire acceptabilă) și 0,015 (limita). Linia întreruptă de pe fiecare rând arată ce MAD ar da în medie o serie perfectă de aceeași mărime: 0,0159 la 217 valori, 0,0003 la 594.448 de valori. Un MAD apropiat de linia întreruptă e ce ar da și o serie perfectă; unul mult peste ea arată o abatere reală.
MAD mic: aproape de legescară logaritmică, 0,0003 la 0,3MAD mare: departe
- zona verde: sub 0,006
- galbenă: până la 0,015
- roșie: peste
- linia întreruptă: MAD-ul mediu al unei serii perfecte de aceeași mărime; un punct puțin dincolo de ea poate fi tot întâmplare (PIB-ul, p = 0,22)
Trei lecții din tabloul de mai sus
Mărimea setului schimbă tot. Populația celor 217 țări are MAD 0,0152, peste pragul 0,015, dar o serie perfectă de 217 valori ar da în medie 0,0159: diferența e în limita întâmplării (p = 0,50). Pragurile lui Nigrini sunt convenții empirice, nu teste calibrate pe mărimea setului. La 594.448 de rânduri se întâmplă invers: și o abatere mică, ca cea observată aici (MAD 0,0018), dă p sub 10⁻⁴⁰, așa că atunci contează mărimea abaterii, nu p.
Un set care nu se întinde pe mai multe scări nu are de ce să urmeze legea. Cele 3.181 de comune, orașe și municipii (88 până la 1.716.961 de locuitori la recensământul din 2021) sunt în proporție de 89% între 1.000 și 10.000 de locuitori. Cifra 2 deschide 25,5% dintre ele, față de 17,6% după lege (MAD 0,030). Speranța de viață, între 54 și 86 de ani, începe doar cu 5, 6, 7 sau 8.
Seturile mici ies mai departe. Contractele subsecvente (n = 85.504) au MAD 0,0025, acordurile-cadru (n = 27.429) 0,0055, achizițiile directe de lucrări (n = 13.669) 0,0053: toate sub 0,006, dar mai departe de linia întreruptă decât registrul direct. Valoarea unui acord-cadru este adesea estimarea, nu o plată; cele trei tipuri de contract sunt numărate separat, nu amestecate. Rândurile cu aceeași autoritate, același număr, același lot și aceeași valoare (de regulă un acord-cadru listat câte o dată pentru fiecare furnizor) sunt numărate o singură dată; nu am testat varianta în care se numără fiecare furnizor.
Ce lasă mâna omului: ultimele cifre
Prima cifră arată mărimea nevoii. Ultimele arată cum a fost scrisă suma. Într-un proces natural, ultima cifră ar fi aproape uniformă: câte 10% pe fiecare. În achiziții nu este.
T4 2023: dintre 530.816 sume întregi de peste 100 de lei, 34,1% se termină în 0 și 9,8% în 5; fiecare dintre celelalte cifre încheie 6 până la 8% dintre sume. Dintre sumele întregi de peste 1.000 de lei (291.839), 9,0% sunt multipli de 1.000 și 21,2% de 100. Dacă ultimele cifre ar fi uniforme, ar fi 0,1% și 1%.
Prețurile rotunde sunt firești: oamenii cer și oferă 2.500 de lei, nu 2.487. Pe un registru ca acesta ele nu dovedesc nimic despre un contract anume. Arată doar unde își lasă omul amprenta, și că amprenta nu e în prima cifră.
Cât ar trebui să se schimbe până când verdictul se mișcă?
Testul măsoară forma întregului registru. Ca verdictul MAD să se mute, trebuie să-și schimbe prima cifră multe rânduri. Alege mai jos câte achiziții își schimbă prima cifră: de câte ar fi nevoie ca MAD-ul din T4 2023 (0,0018) să iasă din zona «potrivire foarte bună»? Răspunsul: cel puțin 11.169 din 594.448, adică 1,9%, oricum ar fi alese mutările. Dacă toate se mută de la cifra 1 la cifra 9, ca în grafic, sunt 12.737.
O sută de achiziții de 2xx.xxx de lei aduse exact la 270.000, sau o mie, nu mișcă nimic aici: își păstrează cifra 2. Ce se strânge sub un prag se vede în valorile exacte, nu în cifre.
Pe autoritate: de ce un semafor ar da alarme false
1.016 autorități au cel puțin 110 achiziții directe în T4 2023, destule ca fiecare cifră să aibă cel puțin 5 apariții așteptate. Dintre ele, 310 (30,5%) se abat de la lege mai mult decât admite întâmplarea la pragul de 5%, și 117 (11,5%) la pragul de 0,1%. Într-un registru perfect ar fi fost 5% și 0,1%. Fiecare punct este o autoritate, fără nume; testul presupune valori independente, iar cumpărăturile repetate ale aceleiași autorități nu sunt întotdeauna așa; punctele cenușii sunt cele 3.003 autorități, cu între 30 și 109 achiziții, prea puține ca să fie judecate; curba roșie arată MAD-ul mediu al unei serii perfecte. Punctele galbene și roșii sunt cele care depășesc întâmplarea.
O școală care cumpără doar manuale sau o primărie care cumpără doar combustibil cumpără probabil pe o scară îngustă, deci are puține șanse să urmeze legea. O explicație plauzibilă pentru abateri este ce cumpără fiecare autoritate; nu am testat-o. Un rând «cu abatere» nu este o constatare despre o autoritate. Din acest motiv, pe pagină nu apare niciun nume.
Numerele tale: seturile reale de mai sus, sau ale tale
Lipește cel puțin 20 de valori pozitive (sume, populații, lungimi) sau alege un set real. Pagina arată prima cifră cu banda de întâmplare la mărimea setului, MAD-ul, ce ar da o serie perfectă și te avertizează când legea nu are de ce să se aplice. Datele nu pleacă din browser.
Ce nu poate arăta testul
- Nu dovedește și nu exclude o fraudă. O serie cu sume trucate poate urma legea, iar o autoritate cinstită care cumpără o singură categorie poate să nu o urmeze.
- Nu vede ce se mișcă în interiorul unei cifre: 269.999 sau 270.000, la 121 sau 120 de lei sub plafonul de 270.120.
- Clasificarea după MAD nu se schimbă până nu își schimbă prima cifră cel puțin 1,9% dintre rânduri (11.169 de achiziții într-un trimestru). Testul χ² respinge oricum orice abatere minusculă la atâtea rânduri.
- Sunt trei trimestre (T1 2022, T4 2023, T2 2024), fixate înainte de calcul, nu anul întreg. T4 2023 și T2 2024 diferă cu cel mult 0,13 puncte procentuale pe fiecare cifră.
- Valorile sunt cele publicate. Am scos sumele zero sau negative (1.512 în T4 2023, 6.296 în T2 2024) și rândurile cu format stricat (27 și 31); formatul exporturilor diferă de la un trimestru la altul. Nu am verificat contracte individuale.
Ce am prezis înainte să văd datele
Sursele și cum se repetă calculul
- Autoritatea pentru Digitalizarea României, Achiziții publice 2022, 2023, 2024 (exporturi SEAP, licență CC BY 4.0). Fișierele folosite, cu SHA-256, sunt în manifest.
- Legea nr. 208/2022, Monitorul Oficial nr. 697 din 12 iulie 2022, aplicabilă din 10 septembrie 2022: textul pe site-ul ANAP; forma consolidată a Legii nr. 98/2016, art. 7.
- Banca Mondială, indicatorii SP.POP.TOTL, AG.SRF.TOTL.K2, NY.GDP.MKTP.CD, SP.DYN.LE00.IN; agregatele regionale sunt excluse.
- INS, Recensământul populației și locuințelor 2021 (recensamantromania.ro): locuitorii pe unități administrativ-teritoriale, 3.181 de unități.
- Mark J. Nigrini, Benford’s Law: Applications for Forensic Accounting, Auditing, and Fraud Detection, Wiley, 2012 (pragurile MAD); Simon Newcomb, American Journal of Mathematics, 1881; Frank Benford, Proceedings of the American Philosophical Society, 1938; Theodore P. Hill, Statistical Science, 1995.
Calculul are patru pași, fiecare cu scriptul lui: descărcarea celor opt exporturi, parcurgerea lor rând cu rând, numărarea seturilor de control și calculul numerelor din pagină. Regulile (coloana, filtrele, deduplicarea, statistica) au fost scrise în înregistrarea prealabilă înainte de prima histogramă; modificările de după sunt listate acolo. Toate fișierele: /reproduce/.
Toate seturile
| Set | Valori | MAD | MAD al unei serii perfecte | Mărimea efectului w | p (χ², 8 grade) |
|---|---|---|---|---|---|
| Achiziții directe, bunuri și servicii, T4 2023 | 594.448 | 0,0018 | 0,0003 | 0,019 | sub 0,001 |
| Achiziții directe, bunuri și servicii, T2 2024 | 597.287 | 0,0014 | 0,0003 | 0,015 | sub 0,001 |
| Achiziții directe, bunuri și servicii, T1 2022 | 532.922 | 0,0008 | 0,0003 | 0,008 | sub 0,001 |
| Contracte subsecvente (acorduri-cadru), T4 2023 | 85.504 | 0,0025 | 0,0008 | 0,031 | sub 0,001 |
| Acorduri-cadru, T4 2023 | 27.429 | 0,0055 | 0,0014 | 0,063 | sub 0,001 |
| Contracte fără acord-cadru, T4 2023 | 11.387 | 0,0053 | 0,0022 | 0,054 | sub 0,001 |
| Contracte subsecvente, T2 2024 | 82.788 | 0,0032 | 0,0008 | 0,033 | sub 0,001 |
| Acorduri-cadru, T2 2024 | 31.981 | 0,0035 | 0,0013 | 0,042 | sub 0,001 |
| Contracte fără acord-cadru, T2 2024 | 14.209 | 0,0040 | 0,0020 | 0,046 | sub 0,001 |
| Contracte subsecvente, T1 2022 | 126.133 | 0,0015 | 0,0007 | 0,020 | sub 0,001 |
| Acorduri-cadru, T1 2022 | 37.967 | 0,0031 | 0,0012 | 0,037 | sub 0,001 |
| Contracte fără acord-cadru, T1 2022 | 9.723 | 0,0097 | 0,0024 | 0,101 | sub 0,001 |
| Achiziții directe de lucrări, T4 2023 | 13.669 | 0,0053 | 0,0020 | 0,080 | sub 0,001 |
| Achiziții directe de lucrări, T2 2024 | 14.884 | 0,0078 | 0,0019 | 0,104 | sub 0,001 |
| Achiziții directe de lucrări, T1 2022 | 9.003 | 0,0097 | 0,0025 | 0,104 | sub 0,001 |
| Achiziții directe, bunuri și servicii, T3 2023 (alt format de export) | 512.983 | 0,0014 | 0,0003 | 0,016 | sub 0,001 |
| Populația țărilor lumii, 2024 | 217 | 0,0152 | 0,0159 | 0,184 | 0,50 |
| Suprafața țărilor lumii, 2023 | 215 | 0,0058 | 0,0160 | 0,073 | 1,00 |
| PIB-ul țărilor lumii, 2024 | 200 | 0,0182 | 0,0166 | 0,231 | 0,22 |
| Locuitorii comunelor, orașelor și municipiilor, 2021 | 3.181 | 0,0299 | 0,0042 | 0,332 | sub 0,001 |
| Speranța de viață la naștere, 2023 | 217 | 0,1769 | 0,0159 | 2,213 | sub 0,001 |
| Șirul lui Fibonacci, termenii 3 până la 200 | 198 | 0,0052 | 0,0167 | 0,062 | 1,00 |
MAD: media celor nouă diferențe absolute între ponderea unei cifre și legea lui Benford. w: rădăcina pătrată din χ²/n, o mărime a efectului care nu crește cu n. p: probabilitatea ca o serie perfectă să se abată cel puțin atât (χ², 8 grade de libertate); la sute de mii de rânduri ajunge aproape de zero chiar la abateri mici.