mariuscomper.ukEN

Simetria, cusută pe fir numărat

Un chenar se poate repeta doar în șapte feluri. Încearcă să-l găsești pe al optulea.

Orice model care se repetă de-a lungul unei benzi, fie el tiv de ie, frizul unui templu sau marginea unei farfurii, ascultă, dacă îi privești doar forma, de una dintre cele șapte reguli de mai jos. Nu de opt. Atinge oricare bandă ca să coși în ea: motivul tău apare pe toate șapte, dus mai departe de fiecare regulă.

Motivul, un singur „raport”: 16 ochiuri pe lățime, 10 pe înălțime. Atinge sau trage peste ochiuri ca să coși sau să deșiri. Linia punctată e mijlocul benzii.

1. Țopăit p1Motivul doar se mută mai departe, mereu la fel.
2. Pas p11gFiecare copie e răsturnată sus-jos și mutată cu o jumătate de perioadă, ca urmele tălpilor pe zăpadă.
3. Pas adăugat p1m1Oglinzi verticale: motivul și imaginea lui din oglindă stau față în față.
4. Țopăit cu răsucire p2Din două copii, una stă cu capul în jos, ca după o jumătate de rotire.
5. Pas adăugat cu răsucire p2mgOglinzi verticale, iar între ele câte o jumătate de rotire; de aici apare și pasul.
6. Săritură p11mO oglindă pe mijlocul benzii: jumătatea de jos o repetă pe cea de sus.
7. Săritură cu răsucire p2mmOglinzi pe ambele direcții, deci și jumătăți de rotire: cel mai simetric dintre cele șapte.

Poți coase și direct pe benzi: ce adaugi pe una apare pe toate șapte, fiecare cu regula ei. Numele de pași vin de la matematicianul John Conway, care le-a gândit ca pe urmele lăsate de cineva care merge, țopăie sau sare; în paranteză e notația cristalografilor.

De ce nu există un al optulea fel de chenar?

Pentru că o bandă nu te lasă să faci mare lucru cu ea. Orice mișcare care o așază exact peste ea însăși trebuie să ducă linia de mijloc tot peste linia de mijloc. Rămân patru posibilități: lași banda cum e, o răstorni sus-jos, o întorci stânga-dreapta sau faci amândouă deodată, adică o rotești cu o jumătate de tură. Fiecare dintre ele poate fi combinată cu o alunecare de-a lungul benzii.

Asta înseamnă patru întrerupătoare, deci 16 combinații posibile. Aprinde-le în ce ordine vrei și urmărește ce se întâmplă cu banda.

Benzi găsite: 0 din 7

  • Țopăit
  • Pas
  • Pas adăugat
  • Țopăit cu răsucire
  • Pas adăugat cu răsucire
  • Săritură
  • Săritură cu răsucire

Unele întrerupătoare le aprind pe altele. Două oglinzi care se taie fac, în punctul unde se întâlnesc, o jumătate de rotire. Oglinda de-a curmezișul, pusă lângă pas, face tot o jumătate de rotire, de data asta la mijloc între oglinzi. Oglinda de-a lungul, pusă lângă pas, mută modelul cu o jumătate de perioadă, așa că de fapt primești aceeași săritură, doar mai deasă. Iar oglinda de-a curmezișul lângă o jumătate de rotire te obligă să alegi: dacă centrul rotirii stă pe oglindă, apare oglinda de-a lungul; dacă stă la mijloc între două oglinzi, apare pasul.

Din cele 16 combinații rămân așa șapte benzi diferite. E o demonstrație matematică, valabilă înainte de orice muzeu: niciun chenar care se repetă, oricât de vechi sau de îndepărtat, nu poate ieși din cele șapte, dacă îl privești ca pe o bandă fără capăt și nu ții seama de culori. Chenarele adevărate au capăt și abateri de execuție, iar când ți se cere să-l încadrezi, alegi regula pe care o urmează modelul, nu abaterile unui fir.

Câte feluri de a repeta un model pe un perete există? Șaptesprezece

Pe un perete, pe o podea sau pe o față de masă, modelul se repetă în două direcții deodată. Apar mișcări noi: rotiri cu o treime, un sfert sau o șesime de tură, oglinzi pe diagonală. Și totuși lista se închide repede: sunt exact 17 feluri. O rotire de o cincime de tură nu apare în niciun model care se repetă: o stea în cinci colțuri poate sta pe o gresie, dar peretele întreg nu se va așeza niciodată peste el însuși după o cincime de tură.

fără rotiri
rotiri de ½
rotiri de ⅓
rotiri de ¼
rotiri de ⅙

Atinge peretele ca să adaugi ochiuri. Felurile cu rotiri de o treime sau o șesime de tură se așază pe hexagoane: pe pătrățele nu încap.

Lista completă a celor 17 a întocmit-o în 1891 cristalograful rus Evgraf Fiodorov, care studia geometria cristalelor; primele 13 le găsise germanul Leonhard Sohncke în 1874. În 1924, matematicianul George Pólya le-a ilustrat pe toate 17 cu câte un pavaj. Cele șapte chenare au fost puse în ordine tot atunci, în anii 1920, fără să le poată revendica un singur descoperitor.

Sunt toate cele 17 în Alhambra?

Se spune adesea că în palatul Alhambra din Granada, decorat în secolele al XIII-lea și al XIV-lea, s-ar găsi toate cele 17 feluri de a repeta un model pe un perete. Afirmația apare chiar pe site-ul administrației monumentului. Cei care au numărat nu sunt însă de acord.

Câte feluri a găsit fiecare în Alhambra
CineCândCâteCe spune
Edith Müller1944, teză de doctorat, Zürich12A documentat 12 feluri. Din observația ei că mici schimbări ar fi dat încă două, alții au înțeles greșit că a găsit 14.
José María Montesinos1987, carte (Springer)17Aduce fotografii pentru toate 17. O recenzie de specialitate a scris că problema e lămurită „o dată pentru totdeauna”.
Rafael Pérez-Gómez1987, articol17Titlul articolului: „Cele patru mozaicuri regulate care lipsesc în Alhambra”; le-a căutat pe cele care nu fuseseră găsite.
Branko Grünbaumcâteva zile în 1983; publicat în 200613Le-a găsit pe cele 12 ale lui Müller și încă unul. Montesinos, scrie el, socotește culorile când îi convine, ia în calcul o singură plăcuță sau spătarul unui scaun și arată modele atât de deteriorate încât nu li se mai vede desenul.
Patronato de la Alhambrasite-ul oficial17Scrie că Alhambra e singurul monument vechi în care sunt prezente toate cele 17, fără să spună după ce reguli le-a numărat.

Cearta ține de reguli: ce parte a decorului numeri, cât de mare și cât de bine păstrată trebuie să fie. Cea mai încâlcită e întrebarea culorilor: le socotești sau nu? Uită-te la modelul de mai jos. Cu culorile, e un fel; fără ele, e altul.

Branko Grünbaum face o observație care merită ținută minte: grupurile de simetrie nu însemnau nimic pentru meșterii care au decorat Alhambra. Ei făceau modele frumoase, și uneori, scrie el, par să fi stricat simetria dinadins, ca să nu fie monotone.

M. C. Escher a vizitat Alhambra în 1922 și din nou în 1936 și a copiat modele de pe pereți. Spre sfârșitul lui 1937, fratele lui, geolog, i-a trimis o listă de lecturi; pe ea era articolul lui Pólya, pe care Escher l-a copiat de mână, cu tot cu cele 17 pavaje. Multe dintre pavajele cu păsări, pești și șopârle pe care le-a desenat după aceea sunt pereți de felul celor 17.

Ce fel de chenar e acesta?

Poți încadra orice chenar cu trei întrebări, puse în ordinea asta:

  1. Are oglinzi verticale, de-a curmezișul benzii?
    • da → Are o oglindă pe mijloc, de-a lungul benzii?
      • da → Săritură cu răsucire p2mm
      • nu → Are jumătăți de rotire (arată la fel cu capul în jos)?
        • da → Pas adăugat cu răsucire p2mg
        • nu → Pas adăugat p1m1
    • nu → Are o oglindă pe mijloc, de-a lungul benzii?
      • da → Săritură p11m
      • nu → Are pas: o copie răsturnată sus-jos și mutată cu jumătate de perioadă?
        • da → Pas p11g
        • nu → Are jumătăți de rotire (arată la fel cu capul în jos)?
          • da → Țopăit cu răsucire p2
          • nu → Țopăit p1

Mai jos sunt chenare adevărate, din muzee și de pe clădiri. Culorile nu contează: privește doar forma. Alege felul, apoi deschide explicația.

Bandă roșie țesută, cu stele în formă de X în mai multe culori și margini zimțate.

Chenarul unei scoarțe din Bezdead, Dâmbovița

Explicația

Săritură cu răsucire p2mm. Fiecare stea în formă de X se oglindește atât stânga-dreapta, cât și sus-jos, iar zimții de sus îi oglindesc pe cei de jos. Două oglinzi care se taie dau și jumătăți de rotire. Culorile stelelor diferă de la una la alta și țesătoarea n-a lucrat la milimetru, dar forma urmează regula aceasta.

Scoarță din Bezdead, Dâmbovița. Foto: Felix Pirvan, CC BY-SA 4.0, decupată.

O funie răsucită, sculptată în lemn, cu șuvițe înclinate toate în aceeași parte.

Funia sculptată pe poarta bisericii din Breb, Maramureș

Explicația

Țopăit cu răsucire p2. Toate șuvițele sunt înclinate în aceeași parte, deci nu există nicio oglindă: în oglindă, înclinarea s-ar întoarce. Întoarsă cu capul în jos, funia arată însă la fel. Lumina care vine de sus o face să pară mai puțin simetrică decât e; privește forma sculptată.

Poarta bisericii din Breb, Maramureș. Foto: DiaRo, CC BY-SA 4.0, decupată și rotită.

Un zigzag cenușiu între două linii drepte, cu triunghiuri hașurate în roșu și verde.

Chenarul unui tavan pictat într-un mormânt egiptean, la Teba

Explicația

Pas adăugat cu răsucire p2mg. Zigzagul are oglinzi verticale prin fiecare vârf și jumătăți de rotire la mijlocul fiecărei laturi. Răsturnat sus-jos și mutat cu o jumătate de perioadă, se așază peste el însuși: acesta e pasul. Nu are oglindă pe mijloc. Hașurile schimbă direcția de la un triunghi la altul și ar strica oglinzile; aici încadrăm conturul, zigzagul.

Copie după tavanul mormântului lui Qenamun (TT 162), Teba, Egipt. The Metropolitan Museum of Art, CC0, decupată.

Cum folosești pagina la o oră de geometrie?

  1. Fiecare elev coase în caroiaj un motiv care nu seamănă cu el însuși: nici în oglindă, nici răsturnat.
  2. Elevii dau linkul colegului de bancă, care trebuie să spună, fără să citească numele, ce regulă a produs fiecare bandă.
  3. La tablă, clasa încearcă să aprindă întrerupătoarele într-o ordine care să dea o a opta bandă. Nu reușește nimeni, iar explicația e chiar lecția.
  4. Acasă: un chenar fotografiat pe o ie, o poartă, o farfurie sau un gard, încadrat cu cele trei întrebări.

Surse și metodă

Un chenar e socotit aici ca o bandă fără capăt, care se repetă exact, într-o singură culoare. În această formă, teorema spune că există șapte feluri; pentru pereți, 17. Dacă se socotesc și simetriile care schimbă culorile între ele, se trece la o altă clasificare, a simetriilor colorate, cu mai multe feluri; modelele din galerie sunt încadrate după formă, cu culorile lăsate deoparte, toate după aceeași regulă.

Benzile și pereții de pe pagină sunt calculate, nu desenate de mână: fiecare regulă e scrisă ca o listă de mișcări pe caroiaj, iar un al doilea program, independent, caută toate simetriile modelului rezultat și îi spune pe nume. Pagina afișează numele găsit de al doilea program, așa că, dacă motivul tău e el însuși simetric, vezi și simetria în plus.

Încadrările din galerie ne aparțin și se pot verifica cu ochiul liber, cu cele trei întrebări. Unde meșterul a lăsat abateri, am încadrat regula pe care o urmează restul benzii.

Numele de pași (țopăit, pas, săritură) sunt ale lui John Conway, traduse de noi; notația din paranteză e cea a cristalografilor.

Tot despre forme și oglinzi, pe acest site