Cercul care refuză să se închidă
O octavă reprezintă o dublare exactă a frecvenței de vibrație (raportul 2:1). O cvintă perfectă, cel mai consonant interval după octavă, înseamnă o creștere a frecvenței cu jumătate (raportul 3:2). Dacă pornești de la o notă joasă și înaintezi din cvintă în cvintă de 12 ori, parcurgi toate cele 12 sunete ale scării cromatice și ar trebui, în teorie, să revii la aceeași notă fundamentală, aflată cu 7 octave mai sus.
Aritmetica naturii impune însă o barieră de netrecut. Raportul celor 12 cvinte pure este (3/2)¹², adică 531.441 / 4.096, ceea ce reprezintă aproximativ 129,75 ori frecvența de plecare. Raportul celor 7 octave este 2⁷, adică exact 128. Numărul 3 înmulțit cu el însuși nu poate fi egal cu o putere a lui 2. Împărțirea celor două valori lasă o fracție de 531.441 / 524.288 (aproximativ 1,0136), denumită coma pitagoreică. În unități de măsură acustică, unde un semiton are 100 de cenți, acest surplus măsoară exact 23,46 de cenți — aproape un sfert de semiton.
Prețul plătit pentru libertatea tonală
Timp de două milenii, muzicienii au căutat o soluție pentru a împărți acest surplus. Dacă păstrezi 11 cvinte absolut pure, întreaga eroare de 23,46 de cenți se adună pe a 12-a treaptă. Rezultatul este o cvintă strânsă la doar 678,5 cenți, denumită „cvinta lupului”, a cărei disonanță aspră amintește de un urlet. În acordajul Renașterii (temperamentul cu sfert de comă), terțele mari au fost acordate perfect pur, însă cvinta lupului dintre Sol♯ și Mi♭ a devenit și mai largă, atingând 737,65 de cenți (+37,65 de cenți față de o cvintă temperată). O piesă compusă în această cheie devenea imposibil de ascultat.
Soluția universală adoptată în secolul al XIX-lea a fost temperamentul egal (12-TET): coma pitagoreică a fost împărțită matematic în 12 felii egale de 1,955 cenți, scăzute din fiecare cvintă a scării. Prin această ajustare, fiecare cvintă are 700 de cenți în loc de 702, iar semitonul devine uniform, măsurând exact 100 de cenți (raportul 2^(1/12)).
Costul acestei simetrii democratice a căzut însă pe terțele mari. O terță mare pură, generată de a cincea armonică a unei corzi vibrante (raportul 5:4), are 386,31 de cenți. În temperamentul egal, aceeași terță primește 400 de cenți — adică este forțată cu 13,69 de cenți peste frecvența ei naturală. Când un pianist apasă notele Do4 și Mi4, a cincea armonică a lui Do (1.308,13 Hz) intră în coliziune cu a patra armonică a lui Mi (1.318,51 Hz), producând o interferență acustică audibilă de 10,38 bătăi pe secundă.
Comparația celor patru mari sisteme
Fiecare epocă a istoriei muzicale a ales să așeze eroarea într-un alt loc. Tabelul de mai jos compară cele patru mari soluții istorice în raport cu scara intervalelor pure.
| Sistem de acordaj | Cvinte (Cenți) | Terțe Mari (Cenți) | Intervalul Lupului | Flexibilitate armonică |
|---|---|---|---|---|
| Armonic Pur (Natural) | 701,96 ¢ | 386,31 ¢ | Inegalități severe în modulații | Doar în tonalitatea de bază |
| Pitagoreic (Antichitate) | 701,96 ¢ (11 pure) | 408,00 ¢ (+21,69 ¢) | 678,49 ¢ (Sol♯–Mi♭) | Limitată la moduri vechi |
| Meantone / Sfert de comă | 696,58 ¢ (-5,38 ¢) | 386,31 ¢ (Pure) | 737,65 ¢ (+37,65 ¢) | Tonalități centrale (max. 3 diezi/bemoli) |
| Temperament Egal (12-TET) | 700,00 ¢ (-1,96 ¢) | 400,00 ¢ (+13,69 ¢) | Niciunul (Eroare împărțită egal) | Completă (toate cele 24 de tonalități) |
Notă de metodă și fizică acustică
Calculul matematic al intervalelor
Unitatea de măsură a cenților acustici a fost propusă de Alexander Ellis în 1884. Valoarea în cenți a oricărui raport de frecvențe r = f₂ / f₁ se calculează prin formula: C = 1.200 × log₂(r). O octavă (r = 2) conține exact 1.200 de cenți, iar un semiton temperat egal măsoară exact 100 de cenți.
Raportul comei pitagoreice este (3/2)¹² / 2⁷ = 531.441 / 524.288 = 1,01364326477. Aplicarea formulei dă exact: 1.200 × log₂(1,01364326477) = 23,460010 cenți.
Bătăile fizice (modulația de amplitudine) apar la suprapunerea a două armonice apropiate, cu frecvența egală cu diferența absolută dintre acestea: f_bătăi = |n · f₁ - m · f₂|. Frecvențele de pe această pagină sunt calculate pornind de la standardul internațional La4 = 440 Hz (Do4 = 261,63 Hz).