Cum arată un sunet

Găsește figurile lui Chladni

Cartea lui Chladni din 1787 are peste o sută de figuri, gravate pe 11 planșe. Cele opt de mai jos sunt note ale plăcii de pe această pagină. Apasă o figură: arcușul se așază aproape de nota ei, iar ultimul pas îl faci tu, cu săgețile sau cu banda de frecvențe. Când nisipul formează figura, cartonașul devine auriu și îți arată placa lângă gravura lui Chladni.

Uneori nisipul desenează figura rotită cu 90 de grade sau o variantă a ei. Orientarea și forma depind de locul în care tragi cu arcușul și de cel în care ții degetul, ca în experimentele lui Chladni. Dacă o notă nu prinde, mută arcușul pe altă margine: un arcuș pus pe o linie a figurii nu o poate porni.

Găsite: 0 / 8

• 87 76 Hz · ≈Re♯2
• 88 111 Hz · La2
• 89 142 Hz · ≈Do♯3
• 90 353 Hz · Fa4
• 99 393 Hz · Sol4
• 101 445 Hz · La4
• 107 673 Hz · ≈Mi5
• 114 924 Hz · La♯5

Împăratul, premiul și femeia care l-a câștigat

Chladni, născut la Wittenberg în 1756, studiase dreptul și știa figurile lui Georg Christoph Lichtenberg: pulbere presărată pe plăci de rășină electrizate, care se așeza pe urmele descărcării electrice. S-a întrebat dacă sunetul lasă și el o urmă. Robert Hooke observase ceva asemănător în 1680, dar Chladni a fost primul care a studiat figurile sistematic. A prins o placă de alamă într-o clemă, a presărat nisip și a tras cu arcușul peste margine. În 1787 a publicat la Leipzig Entdeckungen über die Theorie des Klanges („Descoperiri despre teoria sunetului”), cu unsprezece planșe de figuri.

Figurile l-au făcut celebru. Într-o seară din februarie 1809, la Palatul Tuileries, Chladni i le-a arătat lui Napoleon, cu Laplace de față. A doua zi, împăratul i-a dat 6.000 de franci ca să-și traducă în franceză tratatul de acustică. Institutul Franței a lansat un concurs cu tema: teoria matematică a vibrațiilor suprafețelor elastice, comparată cu experiența.

Când s-a încheiat termenul, în 1811, sosise un singur memoriu: al Sophiei Germain, care învățase matematica singură, din cărțile tatălui ei. Lucrarea avea greșeli, iar premiul nu s-a dat. Lagrange, unul dintre jurați, i-a corectat calculele și a propus o ecuație care, credea el, ar putea descrie figurile. În 1813 memoriul ei a primit o mențiune de onoare. Pe 8 ianuarie 1816, la a treia încercare, Sophie Germain a câștigat premiul, prima femeie premiată de Academia de Științe din Paris. Nu a venit la ceremonie.

Teoria ei nu reușea încă să reproducă figurile. Gustav Kirchhoff a formulat în 1850 condițiile corecte pentru marginile libere. Calculul figurilor plăcii pătrate a lui Chladni, cu marginile libere, a rămas nerezolvat încă peste o jumătate de secol, până când Walther Ritz, un fizician elvețian bolnav de tuberculoză, a publicat în 1909 o metodă cu care le-a calculat una câte una. A murit în același an, la 31 de ani. O variantă modernă a metodei lui calculează și placa de pe această pagină.

De ce fuge nisipul pe linii

Când placa cântă, cea mai mare parte a ei urcă și coboară de la zeci până la mii de ori pe secundă, după notă. Pe anumite linii însă nu se mișcă deloc, pentru că acolo o parte a plăcii urcă și cealaltă coboară. Acestea sunt liniile nodale.

Acolo unde placa accelerează mai tare decât gravitația, firele de nisip sunt aruncate în aer și aterizează puțin mai încolo, la întâmplare. Pe liniile nodale nimeni nu le mai aruncă, așa că rămân acolo. După câteva secunde de sărituri la întâmplare, cea mai mare parte a nisipului ajunge pe linii. Placa de pe această pagină imită procesul: fiecare fir face salturi la întâmplare, cu atât mai lungi cu cât accelerația plăcii de sub el depășește mai mult accelerația gravitațională.

Praful foarte fin face invers. Michael Faraday a observat în 1831 că pulberea de licopodiu se strânge în mijlocul zonelor care vibrează cel mai tare, dusă de curenții de aer de deasupra plăcii. În aer rarefiat efectul dispărea. Iar dacă placa accelerează mai încet decât gravitația, nisipul nu mai sare deloc și se rostogolește spre zonele care se mișcă cel mai mult.

Ce calculează pagina

O placă pătrată de alamă de 25 cm, groasă de 2 mm, cu marginile libere: modul de elasticitate 117 GPa, densitatea 8.530 kg/m³, coeficientul lui Poisson 0,34. Cele 90 de note ale ei sunt calculate cu o variantă modernă a metodei lui Ritz, din 625 de funcții. Pentru o placă pătrată cu coeficientul lui Poisson 0,3, primii cinci parametri de frecvență (frecvența scrisă fără unități) ies exact ca în tabelul publicat: 13,468; 19,596; 24,270; 34,801; 34,801.

Arcușul face placa să vibreze la frecvența pe care o alegi. Fiecare notă a plăcii răspunde cu atât mai tare cu cât frecvența e mai aproape de ea și cu cât arcușul e mai departe de liniile ei. Degetul e aproximat ca o frânare locală. Sunetul e un ton sintetizat pe frecvența arcușului, mai tare când placa rezonează; nu e o înregistrare a unei plăci reale. Cu microfonul, înălțimea vocii e estimată pe telefonul sau calculatorul tău; nimic nu se înregistrează și nimic nu pleacă de acolo.

Surse

1. Ernst Florens Friedrich Chladni, Entdeckungen über die Theorie des Klanges, Leipzig, 1787, cu 11 planșe gravate. Scanare pe Wikimedia Commons (domeniu public); figurile de pe pagină sunt din planșele VIII și IX. commons.wikimedia.org
2. H.-J. Stöckmann, „Chladni meets Napoleon”, European Physical Journal Special Topics 145 (2007): 15–23. Seara de la Tuileries, februarie 1809, după relatarea lui Chladni. doi.org
3. MacTutor History of Mathematics (Universitatea St Andrews), biografia Sophiei Germain: cele trei memorii, premiul din 8 ianuarie 1816. mathshistory.st-andrews.ac.uk
4. Wikipedia, „Sophie Germain” și „Gustav Kirchhoff” (condițiile pentru marginea liberă, 1850). en.wikipedia.org
5. Walther Ritz, „Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern”, Annalen der Physik 28 (1909): 737–786. doi.org
6. Michael Faraday, „On a peculiar class of acoustical figures…”, Philosophical Transactions 121 (1831): 299–340. archive.org
7. H. J. van Gerner și colaboratorii, „Inversion of Chladni patterns by tuning the vibrational acceleration”, Physical Review E 82 (2010): 012301. doi.org
8. Y. Narita, tabelul 1: frecvențele plăcii pătrate cu marginile libere (ν = 0,3), EPI International Journal of Engineering 5 (2022): 26–36. doi.org
9. AZoM, alama pentru cartușe (70% cupru, 30% zinc): modul de elasticitate 117 GPa, densitate 8,53 g/cm³, coeficientul lui Poisson 0,34. www.azom.com
10. APS News, „The First Experiments that Inspired 18th Century «Chladni Figures»” (Hooke, Lichtenberg). www.aps.org