mariuscomper.ukEnglish

Măsoară Pământul cu un creion

Ai nevoie de soare, de un creion și de o riglă. La amiaza locului tău, umbra creionului și ziua din calendar arată cât de departe ești de Ecuator. Două umbre, din două orașe, arată cât de mare e planeta. Așa a măsurat Eratostene Pământul, acum peste 2.200 de ani.

București

La București, pe 28 septembrie 2026, Soarele trece cel mai sus la 13:06, ora României. La Satu Mare, la 13:19; la Tulcea, la 12:56. Cu cât mai la vest, cu atât mai târziu.

E exact ce faceți voi cu două creioane: un unghi măsurat, o distanță luată de la alții.

Cum măsori umbra: patru pași, zece minute

  1. O foaie albă, în soare, pe ceva orizontal: o masă de afară, pervazul, asfaltul din curte. Verifică cu nivela din telefon sau cu un pahar cu apă: apa trebuie să stea la fel de sus pe toate părțile.
  2. Creionul, drept în sus. Prinde-l cu puțină plastilină și verifică cu echerul: o latură lipită de creion, cealaltă pe foaie. Un creion aplecat cu un grad spre Soare sau dinspre el mută rezultatul cu 0,1–0,9 grade, după anotimp; în jurul echinocțiilor, cu vreo jumătate de grad, adică vreo 55 km.
  3. La ora de mai sus, marchează capătul umbrei. Capătul e încețoșat pe câțiva milimetri, fiindcă lumina vine de pe tot discul Soarelui, lat de o jumătate de grad. Pune semnul la mijlocul zonei cețoase.
  4. Măsoară două lungimi: creionul, de la foaie până la vârf, și umbra, de la baza creionului până la semn. Contează doar raportul dintre ele, deci merge orice creion și orice riglă. Un băț de un metru dă o precizie mai bună.
Cât de precis ai citit rigla

Scrie lungimea creionului și a umbrei.

E înnorat? Umbra se poate măsura în orice zi senină, nu doar azi. Pagina calculează amiaza pentru fiecare zi.

Ce spune umbra ta: cât de departe ești de Ecuator

Razele Soarelui ajung pe Pământ practic paralele. Dacă undeva, azi, Soarele stă drept deasupra capului, un băț de acolo nu face umbră. Cu cât ești mai la nord de locul acela, cu atât razele cad mai pieziș pe tine și umbra e mai lungă.

Unghiul dintre creion și raze e același cu unghiul dintre verticala ta și verticala locului fără umbră, două linii care, pe un Pământ rotund, se întâlnesc în centru. Dacă îl aduni la latitudinea locului fără umbră, afli latitudinea ta.

Rezultatul tău apare aici după ce scrii cele două lungimi.

Unghiul dintre creion și raze e același cu unghiul dintre verticala ta și verticala locului fără umbră, două linii care, pe un Pământ rotund, se întâlnesc în centru. Dacă îl aduni la latitudinea locului fără umbră, afli latitudinea ta.

Două umbre, două orașe: cât de mare e Pământul

O singură umbră îți dă latitudinea. Mărimea planetei cere două. Dacă doi oameni, unul mai la nord și unul mai la sud, își măsoară umbrele la amiaza fiecăruia, unghiurile diferă. Diferența e felia de cerc dintre ei. Dacă felia are 4 grade, Pământul are de 90 de ori distanța dintre ei, pentru că 360 ÷ 4 = 90.

Unghiul îl măsurați voi. Distanța pe direcția nord–sud dintre paralelele voastre o luați de pe hartă, cum a luat-o și Eratostene de la alții. Fiecare măsoară la amiaza lui, deci nu contează dacă unul e mai la est: Soarele ajunge sus pe rând, dar în aceeași zi e practic la aceeași declinație, așa că înălțimea lui diferă doar după latitudine.

Linkul poartă doar localitatea, cele două lungimi, ziua și ora. Nimic nu se salvează nicăieri; totul stă în link.

Cu cât stați mai departe unul de altul pe direcția nord–sud, cu atât iese mai precis. Între Zimnicea și Sighetu Marmației sunt peste 4 grade de latitudine, cam 475 km, aproape cât se întinde România de la sud la nord.

O singură umbră îți dă latitudinea. Mărimea planetei cere două. Dacă doi oameni, unul mai la nord și unul mai la sud, își măsoară umbrele la amiaza fiecăruia, unghiurile diferă. Diferența e felia de cerc dintre ei. Dacă felia are 4 grade, Pământul are de 90 de ori distanța dintre ei, pentru că 360 ÷ 4 = 90.

La clasă: douăzeci de creioane, un singur Pământ

  1. Dimineața, în clasă. Proiectați pagina și citiți ora amiezii pentru localitatea voastră. Arătați desenul cu razele paralele: de ce ar face bețele umbre diferite în orașe diferite?
  2. La amiază, în curte. Câte doi: un creion sau un băț, un echer, o riglă, o foaie. Toate perechile marchează umbra la aceeași oră și își notează cele două lungimi.
  3. După aceea. Introduceți măsurătorile mai jos, pe ecranul proiectat. Mediana clasei e cea mai bună estimare a voastră pentru latitudine. Trimiteți linkul clasei unei școli din alt oraș: din două mediane iese Pământul.

Se leagă de programa de geografie pentru clasa a V-a (2017): „Terra – o planetă a Sistemului Solar (formă şi dimensiuni)” și „Globul geografic şi harta. Coordonate geografice”.

    Există și o rețea internațională de școli care fac măsurătoarea în aceeași zi, în jurul echinocțiilor: Eratosthenes Experiment. În martie 2016 s-au înscris peste 150 de școli din România.

    Cum a făcut Eratostene, după textul care descrie metoda cel mai pe larg

    Eratostene din Cirene (cca 276–194 î.Hr.) a condus Biblioteca din Alexandria. Cartea în care a descris măsurătoarea, Despre măsurarea Pământului, s-a pierdut. Metoda o știm mai ales dintr-un tratat de astronomie scris de Cleomede câteva secole mai târziu; Vitruviu și alții dau doar rezultatul și ce a folosit.

    După Cleomede, la Syene (Assuanul de azi), la amiaza solstițiului de vară, gnomonii cadranelor solare nu fac umbră: Soarele e drept deasupra. În aceeași clipă, la Alexandria, umbra dintr-un cadran în formă de bol acoperă un arc de o cincizecime din cerc, adică 7,2°. De la Syene la Alexandria sunt 5.000 de stadii. Deci Pământul are 50 × 5.000 = 250.000 de stadii.

    E exact ce faceți voi cu două creioane: un unghi măsurat, o distanță luată de la alții.

    După Cleomede, la Syene (Assuanul de azi), la amiaza solstițiului de vară, gnomonii cadranelor solare nu fac umbră: Soarele e drept deasupra. În aceeași clipă, la Alexandria, umbra dintr-un cadran în formă de bol acoperă un arc de o cincizecime din cerc, adică 7,2°. De la Syene la Alexandria sunt 5.000 de stadii. Deci Pământul are 50 × 5.000 = 250.000 de stadii.

    Ce nu e în text, și ce era aproximativ

    • Fântâna. Strabon și Pliniu cel Bătrân pomenesc la Syene o fântână luminată până la fund la solstițiu. Pliniu pune, în același pasaj, Syene la 5.000 de stadii de Alexandria, dar niciunul dintre ei nu îl numește pe Eratostene, iar Cleomede, care descrie metoda, nu o pomenește.
    • Syene nu era chiar pe Tropic. Pe atunci, Tropicul Racului trecea pe la 23,74°. Assuanul e la 24,09°: cu 0,35° mai la nord, cam 40 km.
    • Alexandria nu e la nord de Syene. E cu 3 grade mai la vest. Unghiul real dintre paralelele lor e de 7,11°, nu 7,2°; distanța pe nord–sud, de vreo 790 km.
    • 250.000 sau 252.000. Cleomede dă 250.000 de stadii; Strabon, Pliniu și Vitruviu dau 252.000. Christián Carman și James Evans (2015) propun că ambele sunt ale lui Eratostene, ca limită de jos și de sus: 250.000 dacă Soarele e considerat infinit de departe, 252.000 dacă ții seama de distanța la care îl socotea el.
    • Nu era prima estimare. Aristotel pomenește matematicieni care dădeau Pământului 400.000 de stadii; Arhimede pomenește pe alții care dădeau vreo 300.000. Eratostene e primul a cărui metodă s-a păstrat.
    • O altă variantă. În relatarea lui Martianus Capella, scrisă și mai târziu, unghiurile se iau la Syene și la Meroë, mai la sud, iar distanța o dau topografii regali ai Egiptului.

    Cât de bine a nimerit? Depinde cât măsura un stadiu

    Stadiul de 157,5 m (Hultsch, 1882)39.690 km
    Adevărul, printr-un pol40.008 km
    Stadiul de 185 m (Engels, 1985)46.620 km
    Cele 252.000 de stadii ale lui Eratostene, în kilometri, după două valori propuse pentru stadiu

    Stadiul era lungimea unei piste de alergare, și pistele grecești nu aveau toate aceeași lungime. Niciun text păstrat nu spune ce stadiu a folosit Eratostene, așa că nici precizia lui nu se poate spune fără o presupunere.

    Friedrich Hultsch a propus în 1882 un stadiu de 157,5 m, pornind de la o unitate egipteană de lungime. Cu el, cele 252.000 de stadii fac 39.690 km: sub 1% față de adevăr. Donald Engels a argumentat în 1985 pentru stadiul obișnuit, de circa 185 m; cu el ies 46.620 km, cu 16,5% prea mult. Pliniu însuși a convertit numărul în 31,5 milioane de pași romani, adică tot stadii de vreo 185 m.

    Metoda era bună. Cât de exact a ieșit rezultatul rămâne o dispută între specialiști. Voi, cu un creion și o hartă, vă puteți verifica pe loc.

    Mâine, la amiază, Soarele va sta puțin altfel pe cer, și umbra va avea altă lungime. Latitudinea ta va ieși aceeași.

    Mai mult pe site

    Surse și metodă

    Ora amiezii și latitudinea Soarelui (declinația) se calculează cu algoritmul NOAA după Jean Meeus, Astronomical Algorithms. Față de efemeridele JPL DE421, pe 54 de combinații de localități și zile, diferența maximă e de 2 secunde la oră și de 0,0012° la declinație. Pentru localitățile din România, ora e cea a României; pentru un loc dat de telefon în afara țării, ora telefonului.

    Latitudinea ta = unghiul umbrei + declinația Soarelui la amiaza ta. Unghiul umbrei e arctangenta raportului umbră/creion. Dacă ai marcat umbra înainte sau după amiază, pagina adaugă înălțimea pe care Soarele a pierdut-o între timp; la 45 de minute de amiază, corecția e exactă la 0,001°. Refracția atmosferică, între 1 și 3 minute de arc la amiaza din România (cel mult 0,05°), e neglijată.

    Toleranța pe care o alegi se aplică la ambele lungimi; intervalul arătat e cazul cel mai rău, fără înclinarea creionului, care se adaugă. Distanța nord–sud dintre două paralele se calculează pe elipsoidul WGS84; circumferința de referință, 40.008 km, e cea care trece prin poli. Coordonatele sunt cele ale celor 3.181 de unități administrative din România (comune, orașe, municipii).