Alhambra, Granada
Sunt toate cele 17 în Alhambra? Depinde de cine numără. Numără tu.
Matematica spune că un model care se repetă în toate direcțiile pe o suprafață plană o poate face în exact 17 feluri. Se spune că zidurile Alhambrei le au pe toate. Cei care le-au numărat, de la Edith Müller în 1944 la Lynn Bodner în 2013, au găsit 11, 12, 13, 14 sau 17, fiecare după alte reguli. Pune-ți regulile și numără.
Cu toate culorile, zidul acesta nu se mai așază peste el însuși după nicio rotire: culorile nu se repetă după nicio regulă vizibilă, deci nu mai rămân nici oglinzi, nici pași. Rămân doar deplasările: p1, cel mai puțin simetric dintre cele 17.
Câte dintre cele 17 sunt în Alhambra, după regulile tale?
Mai jos sunt toate exemplele pe care patru cercetători le-au publicat pentru fiecare dintre cele 17 feluri, cu locul în care se află. Alege în ce cercetători ai încredere și ce reguli accepți. Numărătoarea se schimbă pe măsură ce alegi.
Cine a numărat și cât a găsit?
| Cine | Când | Câte | Cum a numărat |
|---|---|---|---|
| Edith Müller | 1944, teză, Zürich | 11 sau 12 | Prima numărătoare. Sursele de mai jos nu cad de acord asupra rezultatului ei. |
| Grünbaum, Grünbaum și Shephard | 1986 | cel mult 13 | Au găsit că lipsesc p2, pg, pgg și p3m1. |
| José María Montesinos | 1987, carte | 17 | Fotografii pentru toate, cu culorile socotite sau nu, după caz; un recenzent a scris că problema e lămurită „o dată pentru totdeauna”. |
| Rafael Pérez-Gómez | 1987, articol | 17 | A căutat grupurile lipsă; le-a găsit în muzeu, pe un scaun, într-un detaliu de 10 pe 5 cm, pe pardoseli. |
| Branko Grünbaum | câteva zile în 1983; publicat în 2006 | 13 | Grupurile lui Müller și încă unul. Criteriile, cere el, trebuie spuse explicit și aplicate la fel peste tot. |
| Blanco și Harris | 2011 | 17 | Au socotit culorile și au trecut peste deteriorări; trei exemple sunt piese din muzeu. |
| Lynn Bodner | 2013 | 14 | Doar modele aflate azi în palat, pe ziduri, pardoseli sau tavane, de cel puțin un metru pătrat, fără culori, dar cu împletitura. Lipsesc p2, pmg, p3m1. |
| Patronato de la Alhambra | site-ul oficial | 17 | Nu spune după ce reguli. |
Primul număr e deja nesigur. Edith Müller și-a scris teza la Zürich, în 1944, sub îndrumarea matematicianului Andreas Speiser. Bodner, Pérez-Gómez și Emparán spun că a găsit 11 feluri; Grünbaum spune 12. Grünbaum pare să fi lucrat cel mai aproape de ea: pomenește o scrisoare de la Müller din 1984 și explică de unde a apărut numărul 14, o neînțelegere a unei observații din teză.
Afirmația că Alhambra le are pe toate 17 apare și pe site-ul administrației monumentului, fără să spună după ce reguli. Grünbaum explică de unde s-a răspândit: autori care au copiat de la autori care copiaseră de la alții, „fără nicio cercetare propriu-zisă”.
De ce nu cad de acord?
Culoarea. Un meșter nasrid putea așeza aceeași formă în trei culori, după un ritm al lui. Dacă socotești culorile, simetria se strică; dacă le ignori, apare. Emparán arată cum același desen a fost încadrat în trei feluri, după cât de mult din culoare a păstrat fiecare cercetător. Grünbaum îi reproșează lui Montesinos că a socotit culorile „când i-a convenit”.
Împletitura. Multe modele sunt benzi care trec una pe sub alta. Dacă ții seama care trece pe deasupra, unele oglinzi dispar. Singurul exemplu de p2 al lui Pérez-Gómez există doar dacă socotești împletitura.
Mărimea și locul. Lynn Bodner a numărat doar modele de cel puțin aproximativ un metru pătrat, aflate azi în palat, pe ziduri, pardoseli sau tavane. A respins astfel o plăcuță hexagonală din muzeu care ar fi dat p3m1. Pérez-Gómez a găsit același grup pe spătarul unui scaun din muzeu și într-un detaliu de circa 10 pe 5 centimetri deasupra unei intrări.
Restaurarea. Rafael Contreras a refăcut decoruri întregi în a doua jumătate a secolului al XIX-lea, iar muzeul păstrează plăcuțe reutilizate și tăiate din nou. Pérez-Gómez notează că pavajul pm din curtea Cuarto Dorado e o restaurare din 1965.
Cum arată regulile pe zidurile de azi?
Fotografiile de mai jos sunt publicate liber de vizitatori. Încadrările ne aparțin și se pot verifica cu ochiul liber; acolo unde un cercetător a descris același tip de panou, îl citez.
„Osul” nasrid, soclul unei nișe din Salón de Embajadores cmm
La prima vedere, oasele albe și cele colorate par la fel și modelul pare să aibă sferturi de tură. De aproape, oasele albe sunt mai late: sfertul de tură dispare și rămân oglinzi în cruce și jumătăți de tură, cmm. Bodner încadrează la fel soclul din aceeași sală: oasele albe sunt „substanțial mai mari”.
Foto / Photo: Jl FilpoC, CC BY 4.0.
Pătrate și stele mici, Patio de los Arrayanes, după fișa fotografiei p4m
Fără culori, pătratele și stelele au sferturi de tură, iar oglinzile trec prin fiecare centru de rotire: p4m. Cu culori, nimic nu mai rămâne: pătratele alăturate au culori diferite, fără nicio regulă vizibilă.
Foto / Photo: michael clarke stuff, CC BY-SA 2.0.
Stele împletite, soclul din Mexuar, după descrierea fotografiei p4g
Sferturile de tură sunt sigure. Bodner găsește p4g în soclul din Mexuar și îl recunoaște după pătrățelele făcute din patru triunghiuri. Pe fotografia aceasta, oglinzile prin stele nu le-am putut confirma, așa că încadrarea rămâne p4g după Bodner sau, dacă oglinzile lipsesc, p4.
Foto / Photo: Ashaio, CC BY 4.0.
Rețea de romburi cu inscripții, tencuială sculptată, Salón de Embajadores p1
Rețeaua singură ar avea oglinzi. Dar în cartușe e scris un text, iar scrisul nu are simetrie: îl citești într-un singur sens. Dacă socotești inscripțiile, rămân doar mutările, p1. Bodner folosește același argument pentru exemplul ei de p1.
Foto / Photo: michael clarke stuff, CC BY-SA 2.0.
Cine a făcut zidurile acestea?
Dinastia nasridă s-a instalat la Granada în 1238, cu Muhammad I, zis al-Ahmar. Cele mai multe dintre palatele cu mozaicuri de plăci smălțuite, alicatados, și cu tencuieli sculptate, yeserías, sunt din secolul al XIV-lea, din domniile lui Yusuf I și Muhammad al V-lea. După 1492, Monarhii Catolici au reparat palatul, în mare parte cu meșteri moriști.
Pentru meșterii aceștia, scrie Grünbaum, grupurile de simetrie nu aveau nicio însemnătate. Lista celor 17 avea să fie întocmită abia în 1891, de cristalograful rus Evgraf Fiodorov. Pe unele ziduri, spune el, ai impresia că meșterii au stricat simetria dinadins, ca modelul să nu fie monoton.
M. C. Escher a venit aici în octombrie 1922 și a copiat un panou de plăci. S-a întors în mai 1936, cu soția lui, Jetta, și au umplut caiete cu schițe. Mai târziu, Escher a copiat de mână articolul din 1924 în care George Pólya ilustra toate cele 17 feluri.
Ce sunt cele 17 și de ce pe o bandă nu pot exista decât șapte feluri de chenar, poți încerca singur, cusând, pe Șapte margini.
Surse și metodă
Numărătoarea folosește doar exemplele pe care fiecare autor le-a publicat cu locul lor: Bodner, Blanco și Harris, Pérez-Gómez și Emparán. Grünbaum și Montesinos nu își numesc toate grupurile, așa că apar în tabel, dar nu în numărătoare. Exemplele contestate sau respinse sunt arătate, dar nu numărate.
Când o sursă nu spune dacă un exemplu depinde de culori, de împletitură sau de mărime, exemplul trece de regula respectivă. Blanco și Harris scriu că au socotit culorile, dar nu spun la care exemple conta asta, așa că regulile stricte nu le pot exclude exemplele.
Încadrările fotografiilor ne aparțin. Locurile vin din fișele fotografiilor de pe Wikimedia Commons.
Exemplele care se sprijină doar pe Pérez-Gómez (pavajul restaurat în 1965, scaunul, detaliul de 10 pe 5 cm, piesa 1361) au fost citite în articolul lui o singură dată; verificarea independentă nu l-a putut redeschide.
- Bodner, B. L. (2013). The Planar Crystallographic Groups Represented at the Alhambra. Bridges 2013, 225–232. archive.bridgesmathart.org/2013/bridges2013-225.pdf
- Blanco Blanco, M. F., Nogueira de Camargo Harris, A. L. Symmetry groups in the Alhambra. VisMath (2011). www.mi.sanu.ac.rs/vismath/blanco2011mart/BL.pdf
- Pérez-Gómez, R. (1987). The four regular mosaics missing in the Alhambra. Computers & Mathematics with Applications 14(2), 133–137. doi.org/10.1016/0898-1221(87)90143-X
- Grünbaum, B. (2006). What symmetry groups are present in the Alhambra? Notices of the AMS 53(6), 670–673. www.ams.org/notices/200606/comm-grunbaum.pdf
- Emparán, M. A. (2019). The Planar Crystallography Groups as an Iconographic Analysis Tool in Islamic Art. Bridges 2019. archive.bridgesmathart.org/2019/bridges2019-303.pdf
- Grünbaum, B., Grünbaum, Z., Shephard, G. C. (1986). Symmetry in Moorish and other ornaments. Computers & Mathematics with Applications 12B, 641–653. doi.org/10.1016/0898-1221(86)90416-5
- Patronato de la Alhambra y Generalife: Geometría y matemática en los alicatados. www.alhambra-patronato.es/geometria-matematica-alicatados
- Escher in Het Paleis: Escher’s wall mosaic in the Alhambra; The life of Escher. escherinhetpaleis.nl/en/about-escher/escher-today/wall-mosai
- MacTutor History of Mathematics: Maurits Cornelis Escher. mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Escher/
- Hargittai, I. Appeal of symmetry. IUCr Newsletter 33(5) (Fedorov 1891; Escher’s hand copy of Pólya). www.iucr.org/news/newsletter/volume-33/number-5/appeal-of-sy
- Patronato de la Alhambra y Generalife: history of the monument and the Nasrid palaces. www.alhambra-patronato.es/