mariuscomper.ukEnglish

Un joc de cusut și de geometrie

Orice chenar cusut vreodată, dacă se repetă, e de unul din șapte feluri

Coase un motiv în cruciulițe. Pagina îl repetă în toate felurile în care se poate repeta un chenar. Ca formă, fără culori, sunt șapte, și e demonstrat că nu există al optulea. Poți încerca, totuși, să-l găsești.

Pânza pe care se coase are nevoie de scripturile paginii. Mai jos, cele șapte familii sunt descrise în cuvinte, cu un tabel și cu fotografii.

Pânza ta, 7 pe 7 ochiuri. Apasă pe un pătrățel ca să pui sau să scoți o cruciuliță, ori trage cu degetul peste mai multe.

Colții lupului, valul, S-ul culcat, rombul și melcul sunt printre motivele pe care inventarul patrimoniului imaterial le enumeră pe altițele din Oltenia.

Cele șapte feluri în care se poate repeta un chenar

Fiecare chenar de mai jos pornește de la motivul tău. Primul doar îl mută mai încolo, pas cu pas. Celelalte îl și întorc: îl oglindesc de la stânga la dreapta sau de sus în jos, îl răsucesc cu o jumătate de tură, ori îl răstoarnă și îl mută deodată, cum lasă urme pașii: stângul, dreptul, stângul.

Alege unul ca să-l vezi mare. Liniile colorate arată simetriile pe care pagina le-a găsit în chenarul terminat.

    • oglindă de-a curmezișul
    • oglindă pe lungime
    • oglindire cu alunecare
    • centru de jumătate de tură

    Dacă motivul tău e deja simetric, unele feluri se contopesc. Un romb oglindit stânga-dreapta arată exact ca un romb mutat mai încolo, pentru că rombul era deja oglinda lui însuși. Pagina se uită la ce ai cusut, nu la ce ai cerut, și îți spune când un chenar a trecut în altă familie.

    Încearcă să faci al optulea

    Aici hotărăști tu cum se întoarce fiecare copie a motivului, până la patru copii pe rând și, dacă vrei, un al doilea rând dedesubt. Apasă pe o copie ca s-o întorci. Oricum le-ai așeza, rezultatul cade într-una din cele șapte familii. Fiecare familie nouă pe care o nimerești se aprinde mai jos și rămâne aprinsă data viitoare când deschizi pagina.

    Copiile, de la stânga la dreapta:

    4 copii pe rând

    • țopăit
    • pas
    • pas lateral
    • țopăit cu întoarcere
    • pas lateral cu întoarcere
    • săritură
    • săritură cu întoarcere

    Un rezultat care pare nou poate fi unul vechi, văzut din alt capăt: același chenar, început cu o copie mai încolo. De aceea pagina compară chenarele terminate, nu listele de copii.

    De ce sunt doar șapte

    Un chenar e o bandă care se repetă într-o singură direcție. Orice mișcare care îl lasă neschimbat trebuie să suprapună banda exact peste ea însăși. Asta lasă foarte puține mișcări posibile, pe lângă simpla mutare cu un pas.

    O oglindă poate sta doar de-a lungul benzii, pe linia din mijloc, sau de-a curmezișul ei. Singura rotire care păstrează banda pe loc e jumătatea de tură: un sfert de tură ar întoarce-o de-a curmezișul paginii. O oglindire cu alunecare poate merge doar pe lungime; dacă ar merge în altă direcție, repetată de două ori ar muta banda de pe ea însăși. Rămân patru feluri de mișcări: oglinda de-a curmezișul, oglinda pe lungime, oglindirea cu alunecare și jumătatea de tură.

    Patru mișcări, fiecare prezentă sau nu, dau 16 combinații. Dar mișcările se combină între ele: două oglinzi în unghi drept dau o jumătate de tură, deci cine are ambele oglinzi are și jumătatea de tură. Donald Crowe, matematician și coautor al cărții „Symmetries of Culture” (1988), scrie că nouă din cele 16 combinații sunt imposibile. Rămân șapte: nicio mișcare; doar oglindirea cu alunecare; oglinda pe lungime cu oglindirea cu alunecare; doar oglinda de-a curmezișul; doar jumătatea de tură; oglinda de-a curmezișul cu oglindirea cu alunecare și jumătatea de tură; toate patru. Aprinde mișcările de mai jos și vezi unde ajungi.

    Nicio mișcare aprinsă: ajungi la țopăit (∞∞), chenarul care doar alunecă.

    Cele șapte familii, cu numele date de John Conway după urmele pe care le lasă cineva care se deplasează așa: țopăind pe un picior, pășind, mergând într-o parte, sărind cu picioarele lipite.

    FamiliaCe simetrii areNotația ConwayNumele lui Conway
    țopăitDoar alunecare: motivul se repetă la fel, pas după pas, fără nicio oglindă.∞∞hop
    pasOglindire cu alunecare: fiecare copie e oglindită față de linia din mijloc și mutată cu o jumătate de pas, ca urmele lăsate de pași.∞×step
    pas lateralOglinzi de-a curmezișul: chenarul se poate îndoi peste o linie verticală și cele două părți se suprapun.*∞∞sidle
    țopăit cu întoarcereJumătăți de tură: chenarul, răsucit cu 180° în jurul unor puncte de pe linia din mijloc, arată la fel.22∞spinning hop
    pas lateral cu întoarcereOglinzi de-a curmezișul, oglindire cu alunecare și jumătăți de tură, toate trei deodată.2*∞spinning sidle
    săriturăO oglindă pe lungime: jumătatea de sus e reflexia celei de jos.∞*jump
    săritură cu întoarcereTot ce se poate: oglinzi în ambele direcții și jumătăți de tură.*22∞spinning jump

    Cine le-a enumerat primul pe toate șapte depinde pe cine întrebi. Gwen Fisher scrie că Paul Niggli a fost primul care a enumerat cele șapte grupuri de chenar, în 1926. Slavik Jablan pune alături trei nume: George Pólya (1924), Niggli (1926) și Andreas Speiser (1927). Tot Fisher scrie că Evgraf Fedorov pare să fi fost primul care a numărat, în 1891, cele 17 feluri în care se poate repeta un model pe o suprafață întreagă, ca un tapet.

    Chenarele sunt mult mai vechi decât demonstrația. Jablan dă ca exemplu chenare cu oglindire cu alunecare din arta neolitică de la Butmir, în Bosnia de azi, de pe la 3500 î.Hr.

    Chenarul tău, pe mâneca unei ii cu altiță

    Desen schematic: chenarul ales mai sus, pus pe umăr și întors în benzi care coboară pe mânecă. Nu reproduce o ie anume.

    Pe ia cu altiță, chenarele au locuri fixe. Ministerul Culturii descrie așa ia cu altiță: pornind de la umăr în jos, o structură în trei părți, altița, încrețul și râurile, iar în fiecare parte „motivele se repetă ritmic, în registre orizontale și verticale”. Altița e banda lată de broderie de pe umăr. Încrețul, o bandă mai îngustă, strânge pânza mânecii la lățimea altiței. Râurile sunt benzile care coboară pe mânecă, adică tot chenare, doar așezate vertical.

    Broderia se lucrează, scrie inventarul Institutului Național al Patrimoniului, „direct pe firele numărate ale pânzei”, fără un izvod tipărit. Printre punctele de cusătură enumerate sunt cruciulițele, cărora li se mai spune muscă sau punct românesc. Pânza de 7 pe 7 ochiuri de la începutul paginii e o bucată mică dintr-o astfel de rețea de fire.

    Din 2022, ia cu altiță e pe lista UNESCO a patrimoniului cultural imaterial al umanității, înscrisă împreună de România și Republica Moldova. Dosarul de candidatură spune că meșteșugul e „exclusiv feminin”, învățat în familie, și că valoarea lui de patrimoniu e ținută de oameni între 7 și 80 de ani.

    Henri Matisse a pictat „La Blouse roumaine” în 1940; tabloul face parte din colecția Centrului Pompidou din Paris. Din 2013, 24 iunie e sărbătorită ca Ziua Universală a Iei, la inițiativa comunității „La Blouse Roumaine”, iar o lege promulgată în iunie 2022 a instituit ziua de 24 iunie drept „Ziua iei” în România.

    Aceleași șapte, peste tot în lume

    Fiindcă aceste familii țin de geometrie, nu de o anumită tradiție, aceleași șapte se regăsesc pe toate continentele. Donald Crowe arată toate cele șapte familii pe ceramica pueblo-ului San Ildefonso din New Mexico și scrie că toate șapte apar și în arta Kuba și Benin din Africa. Lynn Bodner le-a căutat pe zidurile Alhambrei.

    Ce diferă de la un loc la altul e cât de des apare fiecare familie. Crowe dă două exemple din colecțiile studiate: în ceramica anasazi din sud-vestul Statelor Unite, cam 70% din chenarele care se pot identifica au doar jumătăți de tură; pe pipele de fumat de la Begho, în Ghana, aproape 70% au toate simetriile posibile. Pentru broderia românească nu am găsit un studiu care să fi numărat familiile.

    O ie albă cu broderie roșie: benzi late și întunecate pe umeri, sub ele o bandă îngustă și deschisă la culoare, apoi dungi brodate care coboară pe mâneci și pe piept.
    Altița, încrețul și râurile, pe aceeași ie. Pe umeri, banda lată și întunecată e altița; sub ea, banda îngustă și deschisă e încrețul; de acolo coboară râurile, dungi de chenar întoarse în lungul mânecii.Ie românească, Metropolitan Museum of Art, New York (43.106.1). Domeniu public (CC0), via Wikimedia Commons.
    O ie cu benzi galbene și albastre pe umeri, un chenar galben în zigzag sub ele și șiruri de puncte roșii și negre pe mâneci și pe piept.
    Formă și culoare. Sub altiță, un chenar galben în zigzag, o formă căreia, pe altițele din Oltenia, i se spune „colții lupului”. Pe piept, două șiruri de puncte roșii și negre: dacă punctele au aceeași formă, geometria singură dă un șir cu toate simetriile; culoarea e un strat în plus, care poate lungi pasul.Ie românească, Metropolitan Museum of Art, New York (23.123.2). Domeniu public (CC0), via Wikimedia Commons.
    Bandă roșie țesută, cu stele în formă de X în mai multe culori și margini zimțate.
    O săritură cu întoarcere, țesută. Chenarul unei scoarțe din Bezdead, Dâmbovița. Fiecare stea în formă de X se oglindește stânga-dreapta și sus-jos, iar zimții de sus îi oglindesc pe cei de jos. Stelele își schimbă culoarea de la una la alta, dar forma ține regula.Foto: Felix Pirvan, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons, decupată.
    O funie răsucită, sculptată în lemn, cu șuvițe înclinate toate în aceeași parte.
    Un țopăit cu întoarcere, sculptat. Funia de pe poarta bisericii din Breb, Maramureș. Toate șuvițele sunt înclinate în aceeași parte, deci nu are nicio oglindă; întoarsă cu capul în jos, arată însă la fel.Foto: DiaRo, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons, decupată și rotită.
    Un vas mare de lut cu gâtul și pântecele acoperite de meandre în relief, linii frânte în unghi drept care se întorc în ele însele.
    Aceeași regulă, în lut. Meandre pe un vas mare de provizii în relief, din perioada geometrică târzie, pe la 750–700 î.Hr.; fișa fotografiei îl atribuie unui atelier din Tinos sau Beoția. Pe gât, meandrul curge în benzi orizontale, fiecare un chenar.Foto: ArchaiOptix, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons.

    Culoarea împarte familiile mai departe: dacă și schimbarea roșului cu negrul contează ca simetrie, Crowe numără 17 tipuri de chenar în două culori. Cele șapte familii de mai sus privesc doar forma: unde e o cruciuliță și unde nu.

    Trimite-l cuiva sau du-l la clasă

    Linkul de mai jos păstrează exact motivul și chenarul tău. Cine îl deschide vede ce ai cusut și poate continua de acolo. Schema de cusut se descarcă drept imagine, cu un pătrat pentru fiecare cruciuliță, gata de pus pe pânză.

    Pentru o oră de geometrie, de la clasa a V-a în sus:

    1. Vânătoarea de chenare. Elevii caută chenare în școală și pe drum spre casă: gard, gresie, covor, marginea caietului. Pentru fiecare, desenează un pas și spun din care familie e. Cine le găsește pe toate șapte?
    2. Urmele. Pe zăpadă, pe nisip sau cu tălpi de hârtie pe hol: țopăit pe un picior, mers normal, mers într-o parte, sărit cu picioarele lipite. Conway a numit familiile după urme ca acestea.
    3. Demonstrația. La secțiunea „De ce sunt doar șapte”, elevii aprind mișcările două câte două și notează ce mișcare apare singură. Din cele 16 combinații, câte rămân?
    4. Cusutul. Cu schema descărcată, fiecare elev coase un pas din chenarul lui pe etamină. Chenarele puse cap la cap arată dacă regula s-a păstrat.

    Pagina nu cere cont, nu trimite nimic nicăieri și ține minte familiile găsite doar pe dispozitivul tău.

    Surse și metodă

    Pagina clasifică geometria cusăturii: care pătrățele au cruciuliță și care nu. Culoarea e un strat în plus, care ar împărți familiile mai departe, și aici nu intră. Un chenar cusut de mână nu e niciodată perfect periodic; familia descrie regula repetată de mâna care coase, nu fiecare fir.

    Clasificarea se face pe chenarul terminat, nu pe butonul apăsat. Pentru chenarul din pagină, programul caută cel mai mic pas după care modelul se repetă, apoi încearcă fiecare oglindă de-a curmezișul (pe o cruciuliță sau între două), oglinda pe linia din mijloc, fiecare oglindire cu alunecare și fiecare centru de jumătate de tură. Linia din mijloc e cea a benzii cusute: rândurile goale de deasupra și de dedesubt nu contează. Un chenar fără nicio cruciuliță nu primește familie.

    Notația cu ∞ e cea a lui John Conway (orbifold). Există două convenții pentru literele de tip „p1m1”, care se contrazic: în forma scurtă folosită de Wikipedia, p1m1 are oglinzi de-a curmezișul, iar în forma cu patru semne folosită de Washburn și Crowe sau de Bodner, p1m1 are oglinda pe lungime. De aceea pagina nu le folosește.

    Numele românești ale familiilor sunt traduceri ale numelor date de Conway după urmele de pași („hop”, „step”, „sidle”, „jump”), nu termeni consacrați în limba română.

    Mai mult pe site