Cât de lungă trebuie să fie o sfoară ca să se înnoade#
Cutia era un cub de plastic acrilic cu latura de 30 de centimetri, rotit de un motor cu o tură pe secundă, zece secunde. Sfoara, o împletitură groasă de 3,2 milimetri, era ținută vertical deasupra cutiei și lăsată să cadă înăuntru. După zece secunde, cei doi deschideau cutia, ridicau capetele drept în sus și le uneau, ca nodul să nu mai poată scăpa, apoi fotografiau ce ieșise.
Sub 46 de centimetri nu a ieșit niciun nod. Între 46 de centimetri și un metru și jumătate, șansa a crescut repede, apoi s-a stabilizat în jur de 50% până la 6 metri. Autorii pun palierul pe seama timpului scurt de rotire: cu treizeci de secunde de rotire în loc de zece, o sfoară de 3 metri s-a înnodat în 74% din încercări în cutia de 15 centimetri și în 63% în cea de 30.
Din cele 1.127 de noduri, 1.007 au fost identificate ca noduri prime din tabele, cu 3 până la 11 încrucișări. Au apărut toate nodurile prime de până la 7 încrucișări.
De ce se formează nodul la capăt#
O sfoară întreagă nu poate trece prin ea însăși. Ca să apară un nod, capătul trebuie să-și facă singur drum pe deasupra și pe dedesubtul altor bucăți de sfoară. În filmări, sfoara rigidă se strângea în spire late cât cutia, iar capătul liber se strecura printre ele. Raymer și Smith au simplificat lucrurile astfel: lângă capăt stau câteva bucăți paralele de sfoară, iar capătul trece la întâmplare peste sau pe sub vecina de deasupra sau de dedesubt, cu șanse egale. Așa funcționează jucăria de mai sus.
Tot de aici vine și pragul. Ca să se formeze un nod, sfoara trebuie să facă mai mult de o spiră, altfel lângă capăt nu are pe sub ce să treacă. Autorii compară pragul măsurat cu o tură în cutia lor de 15 centimetri, cam jumătate de metru de sfoară, și găsesc valori asemănătoare.
Cu modelul acesta, aceeași sfoară a fost „scuturată” de o mie de ori pentru fiecare setare. Cu cât capătul face mai multe mișcări, cu atât nodurile ies mai des și mai complicate: 7% cu 2 mișcări, 51% cu 10, 91% cu 30. Numărul de spire contează mai puțin decât s-ar crede: după primele două, șansa rămâne în jur de 50% (49–52%). În varianta de aici, capătul pornește din afară și trece de o singură spiră la fiecare mișcare, așa că în zece mișcări ajunge rar la spirele din interior. În lucrare, modelul autorilor arată o creștere și cu numărul de spire, doar într-un grafic, fără valori în text. Procentele modelului nu sunt cele măsurate în cutie: modelul are nevoie de un număr de mișcări, iar cutia avea zece secunde.
Modelul are același defect ca în lucrare: produce prea rar nodul opt. La 10 mișcări au ieșit 26 de noduri opt din 1.000, față de 299 de trifoaie. Și în cutie nodul opt a apărut mai rar decât trifoiul, dar lucrarea spune că modelul îl face mult mai rar decât experimentul.
Cum știe pagina ce nod ai făcut#
Un nod adevărat există doar pe o buclă închisă: dacă lași capetele libere, orice încâlceală se poate desface. De aceea pagina face ce au făcut și fizicienii: ridică cele două capete drept în sus și le unește deasupra cutiei.
Apoi privește sfoara de sus și notează fiecare loc în care o bucată trece peste alta și care dintre ele e deasupra. Din această listă de încrucișări calculează două polinoame care nu se schimbă oricum ai muta sfoara fără s-o tai: polinomul lui Alexander, din 1928, și polinomul lui Jones, din 1984 (publicat în 1985). Numele de felul lui 3₁ vin din tabelele clasice de noduri: numărul mare spune câte încrucișări are nodul, cel mic, al câtelea este în tabel. Pentru trifoi, primul polinom este 1 − t + t². Pentru nodul în opt, 1 − 3t + t². Perechea este căutată în tabelul KnotInfo, care cuprinde toate nodurile prime de până la 13 încrucișări.
Metoda a fost verificată pe toate cele 801 noduri de până la 11 încrucișări: fiecare a fost desenat ca o curbă în spațiu, i s-au numărat încrucișările într-o proiecție și a dat polinoamele corecte. Nu există două noduri de până la 9 încrucișări cu aceleași două polinoame, dar câteva le împart cu un nod mai mare, de exemplu 5₁ și 10₁₃₂, iar între nodurile de 10 și 11 încrucișări astfel de grupuri sunt câteva zeci. În acest caz, pagina arată nodul cel mai simplu și îl numește și pe celălalt.
Ierbarul nodurilor de până la șapte încrucișări#
Acestea sunt toate nodurile prime cu cel mult șapte încrucișări. Fiecare a ieșit măcar o dată din cutia lui Raymer și Smith. Fiecare este desenat relaxat, cu firele ținute cât mai departe unele de altele, ca să se vadă pe unde trece sfoara. Cele pe care le-ai făcut tu în jucărie se aprind.
găsit3₁ nodul trifoi
3 încrucișări
Cel mai simplu nod adevărat: nu există niciun desen al lui cu mai puțin de trei încrucișări.
găsit4₁ nodul opt
4 încrucișări
Patru încrucișări. Este identic cu imaginea lui în oglindă, spre deosebire de trifoi.
găsit5₁ nodul cincifoi
5 încrucișări
O stea cu cinci colțuri, înrudită cu trifoiul: amândouă se înfășoară pe un tor.
găsit5₂ nodul cu trei răsuciri
5 încrucișări
Cinci încrucișări, cu trei răsuciri pe o parte.
găsit6₁ nodul docherului
6 încrucișări
Poartă numele unui nod de oprire folosit de docheri.
găsit6₂ nodul 6₂
6 încrucișări
găsit6₃ nodul 6₃
6 încrucișări
găsit7₁ nodul-stea cu șapte colțuri
7 încrucișări
Steaua cu șapte colțuri din aceeași familie cu trifoiul.
găsit7₂ nodul 7₂
7 încrucișări
găsit7₃ nodul 7₃
7 încrucișări
găsit7₄ nodul nesfârșit
7 încrucișări
Seamănă cu nodul nesfârșit desenat în arta tibetană.
găsit7₅ nodul 7₅
7 încrucișări
găsit7₆ nodul 7₆
7 încrucișări
găsit7₇ nodul 7₇
7 încrucișări
Două noduri luate unul după altul pe aceeași sfoară nu se pot contopi într-unul singur. Nodul babei și nodul drept sunt ambele câte două trifoaie. Singura diferență: la nodul drept, unul dintre trifoaie e oglindit.
găsitnodul babei
6 încrucișări
Nodul strâmb, care alunecă: două trifoaie la fel, unul după altul. Pe aceeași bucată de sfoară nu pot deveni un singur nod.
găsitnodul drept
6 încrucișări
Un trifoi și oglinda lui, unul după altul: același desen de bază ca nodul cu care se leagă un pachet.
Ce o ferește pe o sfoară de încurcături#
Pentru o sfoară de 3 metri, autorii au schimbat câte un singur lucru și au repetat de 200 de ori.
| Ce s-a schimbat | cutie de 10 cm | cutie de 15 cm | cutie de 30 cm |
|---|---|---|---|
| Sfoară de 3 m, o tură pe secundă, 10 s | 26% | 50% | 55% |
| Rotire mai lentă (o tură la 3 s) | 29% | 52% | 57% |
| Rotire mai rapidă (3 ture pe secundă) | 8% | 17% | 20% |
| Rotire mai lungă (30 s) | 30% | 74% | 63% |
| Sfoară mai moale, 3 m | — | 65% | — |
| Sfoară mai moale, 4,6 m | — | 85% | — |
| Furtun de cauciuc, mai rigid, 3 m | — | 20% | — |
Cutia mică, de 10 centimetri, a redus la jumătate numărul de noduri. Rotirea de trei ori mai rapidă a coborât șansa la 8–20%: forța centrifugă arunca sfoara spre pereți și o rostogolea mult mai puțin. În cutia de 15 centimetri, un furtun de cauciuc, mai rigid, s-a înnodat de 20 de ori din 100, o sfoară mai moale de 65 de ori. Treizeci de secunde în loc de zece au ridicat șansa la 74% în cutia de 15 centimetri. Experimentul a fost făcut cu sfoară; cablurile nu au fost încercate.
Cum a fost făcută pagina#
Numerele despre cutie vin din lucrarea lui Raymer și Smith (PNAS, 2007): textul, tabelul 1 și parametrii curbei din figura 2. Curba este redesenată din cei trei parametri publicați. Se potrivește cu textul lucrării doar dacă lungimea e citită în picioare, unitatea în care e dată curba din figura 4. Modelul cu spire este cel descris de autori. Desenul lui în spațiu (spire plate, câte o spiră trecută la fiecare mișcare, capete ridicate și unite deasupra) a fost ales pentru această pagină, iar procentele lui vin din câte 1.000 de încercări pe setare. Echivalența dintre spire și metri (o tură într-o cutie de 15 cm înseamnă cam 0,47 m) urmează argumentul autorilor și este aproximativă. Nodurile sunt recunoscute după polinoamele Alexander și Jones, comparate cu tabelul KnotInfo pentru nodurile de până la 11 încrucișări. Formele din ierbar sunt obținute prin relaxarea fiecărui nod, cu o verificare la final că a rămas același nod; dintre mai multe relaxări a fost păstrată cea cu firele cel mai depărtate.
Surse#
- Raymer, D. M. & Smith, D. E. (2007). Spontaneous knotting of an agitated string. PNAS 104 (42): 16432–16437. doi.org
- Raymer, D. M. & Smith, D. E. (2007), full text in PubMed Central. pmc.ncbi.nlm.nih.gov
- Livingston, C. & Moore, A. H. KnotInfo: Table of Knot Invariants (database_knotinfo, October 2026). knotinfo.math.indiana.edu
- Alexander, J. W. (1928). Topological invariants of knots and links. Transactions of the AMS 30: 275–306. doi.org
- Jones, V. F. R. (1985). A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. Bulletin of the AMS 12: 103–111. doi.org