mariuscomper.ukEN

Cărți de joc, magie și probabilități

Trei amestecări nu ascund o carte

Taie un pachet nou și lasă jumătățile să cadă una în alta, de trei ori. Apoi bagă o carte la mijloc. O poți găsi din nou, cum o găseau magicienii acum mai bine de o sută de ani. Încearcă mai jos, apoi vezi de câte amestecări e nevoie ca s-o ascunzi cu adevărat.

Găsește cartea

Pe această pagină pachetul se amestecă pe masă, în fața ta. Mai jos, figura arată același lucru pe hârtie: un pachet nou după trei amestecări, cu o carte mutată.

De ce se dă de gol cartea

O amestecare pe masă face două lucruri. Taie pachetul în două grămezi, apoi lasă cărțile să cadă din ambele într-una singură. Nicio grămadă nu e reordonată: cărțile din grămada de sus cad în ordinea în care erau, la fel și cele din grămada de jos. Un pachet nou amestecat o dată e deci format din două șiruri ordonate, țesute unul în altul. Matematicienii le spun șiruri crescătoare. Aici, fiecare e un fir.

Fiecare amestecare poate cel mult să dubleze numărul firelor: unu, două, patru, opt. Lucrul acesta e sigur, oricine ar amesteca. După trei amestecări, pachetul are cel mult opt fire, în medie de câte șase cărți și jumătate. Mută o carte și, de obicei, ea nu se mai potrivește pe niciun fir. Stă singură.

10561075A2J6J310J47Q8Q56K9Q 6K77A2A88JQK23104998AK3235494
Un pachet nou după trei amestecări în model, cu cartea de deasupra mutată la mijloc. Opt fire; cartea singură, încercuită, e cea mutată: 6 de cupă.

Magicienii au descoperit asta înaintea matematicienilor. Cel mai vechi exemplu găsit de Dave Bayer și Persi Diaconis e o „citire în cărți” publicată în 1912 de C. O. Williams, cu un pachet aranjat dinainte și amestecat o singură dată. Americanul Charles T. Jordan, pe care ei îl descriu drept inventator de trucuri, proiectant de aparate de radio, câștigător de concursuri și crescător de găini, a mers mai departe. În 1916 a descris un număr de „citire a gândurilor la distanță”: trimiți cuiva un pachet prin poștă, el îl amestecă, alege o carte, amestecă din nou și îți trimite înapoi jumătate din pachet, iar tu îi scrii ce carte a ales.

Trucul lui Jordan numit Premo, așa cum îl descriu Bayer și Diaconis, merge așa: spectatorul taie și amestecă de două ori și mai taie o dată, ia cartea de deasupra, se uită la ea și o bagă în pachet, apoi mai taie și mai amestecă o dată. Magicianul întinde cărțile pe masă, se uită lung la ele și spune care carte a fost aleasă.

Cât timp mai merge trucul

Persi Diaconis a plecat de acasă la 14 ani ca să umble prin lume cu magicianul Dai Vernon, un maestru al prestidigitației, și și-a luat mai târziu doctoratul la Harvard. Împreună cu Dave Bayer, a simulat pe calculator trucul lui Jordan: câte un milion de împărțiri pentru fiecare număr de amestecări, cu cartea mutată după ultima. După trei amestecări, o singură încercare a găsit cartea în 84% din cazuri, iar două încercări în 94%. După patru, în 29%. „La patru amestecări, trucul e deja magie jalnică”, au scris ei.

Versiunea de pe masa de mai sus e mai simplă: fără tăieturi, cu cartea mutată după ultima amestecare. În simularea noastră, cartea mutată e singura carte fără fir în 89% din cazuri după trei amestecări, în 23% după patru și în 1% după cinci.

Cât de des e găsită cartea mutată, după numărul de amestecăriLinii: Bayer și Diaconis, o încercare și 26 de încercări; linie punctată: versiunea de pe masa de mai sus. Sub patru amestecări, o încercare o găsește aproape mereu; la patru, în 29%; după opt, 26 de încercări câștigă încă 54,8%.0%25%50%75%100%12345678910amestecări26 încercărihazard, 26o încercarehazard, una84%29% · „magie jalnică”54,8%punctat: masa de mai sus
Linii continue: simularea lui Bayer și Diaconis (1992), cu tăieturi, cartea mutată după ultima amestecare. Linia punctată: versiunea de pe masa de mai sus, fără tăieturi (simularea noastră). Liniile subțiri arată hazardul pur: 1 din 52 la o încercare, 1 din 2 la 26.

Ochiul renunță însă mult înainte să dispară ordinea. Acordă-ți 26 de încercări, jumătate din pachet, și pariază la cotă egală că, printre ele, e și cartea mutată. Cu un pachet perfect amestecat câștigi jumătate din pariuri. După opt amestecări, tot câștigi 54,8% dintre ele. Ordinea e tot acolo. Doar că n-o mai vezi.

De ce șapte

Cum măsori cât de departe e un pachet de o ordine complet întâmplătoare? Bayer și Diaconis au folosit distanța de variație totală. Gândește-te la cel mai bun pariu pe care l-ar putea face cineva despre ordinea cărților. Distanța e diferența dintre șansa ca pariul să iasă pe pachetul amestecat și șansa ca el să iasă pe un pachet perfect amestecat. La 1, pachetul amestecat se deosebește de fiecare dată; la 0, niciodată.

Ei au găsit o formulă exactă pentru șansa fiecărei ordini după oricâte amestecări, și ea depinde doar de numărul de fire. Din formulă, distanța pentru 52 de cărți se calculează exact. Am refăcut calculul și am obținut tabelul lor. Distanța rămâne la 1,000 până la patru amestecări, scade la 0,924 la cinci și 0,614 la șase, apoi se înjumătățește cam la fiecare amestecare: 0,334, 0,167, 0,085, 0,043. Șapte e primul număr de amestecări la care scade sub jumătate. De aici vine regula, notează L. N. și L. M. Trefethen.

Distanța de variație totală după m amestecări, 52 de cărțiRămâne la 1 până la patru amestecări, apoi 0,924; 0,614; 0,334 la șapte, prima valoare sub jumătate; 0,167; 0,085; 0,043.0,00,51,012345,9246,6147,3348,1679,08510,04311,02212,011jumătateamestecări
Calculată exact din formula lui Bayer și Diaconis (1992); valorile pentru 1–10 amestecări coincid cu tabelul lor.

Cine ce spune despre „șapte”:

  • Aldous și Diaconis, 1986. Analizele „sugerează că e nevoie de șapte amestecări pe masă (riffle) ca să te apropii de o ordine întâmplătoare”. E cea mai veche formulare tipărită a regulii pe care am găsit-o.
  • Bayer și Diaconis, 1992. Pentru pachete mari, cam (3/2)·log2n amestecări pentru n cărți. Pentru 52 de cărți, formula dă 8,55.
  • Trefethen și Trefethen, 2000. Dacă măsori informația rămasă în loc de pariuri, după cinci amestecări mai rămâne 3,52%, iar după șase, 0,92%.
  • Assaf, Diaconis și Soundararajan, 2011. Dacă te interesează doar unele trăsături, de pildă culorile, ajung mai puține. Cartea de jos singură e cam la fel de amestecată după patru amestecări ca pachetul întreg după șapte.
  • Diaconis, 2003. „Șapte amestecări ajung” e doar un reper aproximativ.

Cei mai mulți oameni, îi spunea Diaconis Ginei Kolata de la The New York Times în 1990, amestecă de trei sau patru ori.

Mâinile îndemânatice nu ajută

Modelul din spatele tuturor acestor numere a fost propus de Edgar Gilbert și Claude Shannon, într-un memoriu al Laboratoarelor Bell din 1955, și, independent, de Jim Reeds în 1981. În el, fiecare carte cade din una sau alta dintre jumătăți cu o șansă proporțională cu câte cărți mai are fiecare jumătate. Experimentele lui Diaconis au arătat că modelul descrie bine felul în care amestecă oamenii în realitate.

Mâinile reale diferă totuși. Crupierii profesioniști, scriau Aldous și Diaconis, lasă să cadă câte o singură carte în 80% din cazuri și câte două în vreo 18%; cei mai puțin exersați lasă câte una în vreo 60%. Ordonat nu înseamnă întâmplător. O amestecare perfectă, cu câte o carte din fiecare jumătate, strict pe rând, și cu cartea de deasupra rămasă deasupra, nu are nimic întâmplător în ea: opt asemenea amestecări aduc un pachet de 52 de cărți înapoi de unde a pornit.

Celălalt fel obișnuit de a amesteca, când treci pachete mici dintr-o mână în cealaltă, e mult mai lent. Robin Pemantle a arătat în 1989 că e nevoie de un număr de amestecări de ordinul n²·log n. Pentru 52 de cărți, socotește Diaconis, aceasta înseamnă peste 2.500.

Nici mașinile nu scapă. Un producător de echipamente de cazinou i-a întrebat pe Diaconis, Jason Fulman și Susan Holmes dacă o singură trecere prin mașina lui de amestecat, o cutie cu zece rafturi, dă un pachet bine amestecat. Nu dădea: un jucător care știa cum lucrează mașina și vedea fiecare carte după ce ghicea putea ghici corect cam 9,3 cărți dintr-un pachet de 52, față de 4,5 la un pachet bine amestecat. Președintele companiei le-a răspuns: „Nu ne bucură concluziile voastre, dar le credem.” Soluția a fost ca pachetul să treacă prin mașină de două ori.

Unic mult înainte să fie amestecat

Cele 52 de cărți pot fi așezate în 52! ordini: 80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000, cam 8 × 1067. Se spune des că un pachet amestecat e într-o ordine pe care n-a mai avut-o nimeni niciodată. Afirmația e adevărată doar dacă pachetul e amestecat bine, iar „bine” se poate calcula.

Din formula lui Bayer și Diaconis am calculat șansa exactă ca două pachete, amestecate de același număr de ori pornind de la ordinea unui pachet nou, să ajungă în aceeași ordine. Să presupunem, cu generozitate, că în toată istoria s-au amestecat astfel 1020 de pachete: zece miliarde de oameni, câte un pachet pe secundă, timp de trei secole.

Pachete amestecate de m ori, pornind toate din ordinea unui pachet nou
mȘansa ca două pachete să coincidăPerechi identice așteptate printre 1020 pachete
12,2 × 10−16≈ 1,1 × 1024
24,9 × 10−32≈ 247 de milioane
34,7 × 10−47≈ 2,3 × 10−7
42,7 × 10−58≈ 1,4 × 10−18
59,3 × 10−65≈ 4,7 × 10−25
72,5 × 10−68≈ 1,3 × 10−28

După două amestecări, perechile identice ar fi sute de milioane. După trei, șansa de a exista măcar una scade la cam 1 din 4,3 milioane. După șapte, două pachete coincid doar de vreo 2 ori mai des decât două pachete perfect amestecate. Prin urmare, în model, un pachet amestecat de trei ori aproape sigur nu coincide cu niciun alt pachet amestecat de trei ori pornind de la ordinea unui pachet nou, și totuși un magician îi găsește cartea mutată. Unic nu înseamnă întâmplător.

Toate acestea sunt valabile în model. Mâinile reale nu sunt modelul: cineva care ar amesteca perfect ordonat ar obține aceeași ordine de fiecare dată.

Fă trucul diseară, cu un pachet adevărat

  1. Pune un pachet de 52 de cărți într-o ordine pe care o știi pe de rost. De pildă: pică de la as la popă, apoi cupă, treflă și caro.
  2. Dă-i pachetul cuiva. Roagă-l să-l taie cam pe la jumătate și să lase jumătățile să cadă una în alta, de trei ori, fără alte tăieturi între ele.
  3. Întoarce-te cu spatele. Omul ia cartea de deasupra, se uită la ea și o bagă undeva pe la mijlocul pachetului.
  4. Întinde cărțile cu fața în sus. Pornește de la asul de pică și caută doiul, apoi treiul, mereu mai la dreapta. Când nu mai găsești cartea următoare la dreapta, începe un fir nou de la stânga. Cartea care nu intră în niciun fir e a lui.

Trei amestecări nu pot face mai mult de opt fire, oricine ar amesteca.

Iar când cărțile sunt pentru un joc adevărat: șapte amestecări.

Surse și metodă

Amestecările de pe masă urmează modelul Gilbert–Shannon–Reeds: tăietura cade unde atingi sau, dacă apeși „Amestecă”, după o distribuție binomială; apoi fiecare carte cade din una dintre jumătăți cu o șansă proporțională cu câte cărți mai are acea jumătate. Firele sunt șirurile crescătoare ale lui Bayer și Diaconis: cartea următoare în ordinea pachetului nou continuă firul dacă stă mai jos decât precedenta.

Distanța de variație totală am calculat-o exact, din formula lui Bayer și Diaconis și din numerele lui Euler, iar rezultatul coincide până la ultima zecimală cu primul lor tabel. Am refăcut simularea trucului făcută de ei (40.000 de împărțiri pentru fiecare număr de amestecări, cartea mutată după ultima amestecare): cea mai mare abatere de la tabelul lor e de 0,3 puncte procentuale la o singură încercare și 0,6 la 26. Procentele pentru versiunea de pe această pagină (fără tăieturi, cartea singură) vin din 40.000 de împărțiri pe punct. Șansa ca două pachete să ajungă în aceeași ordine e suma pătratelor probabilităților din aceeași formulă; rezultatul e exact, dar valabil pentru model, nu pentru mâini anume.

Tot despre întâmplare și ordine, pe acest site